Analyse (mathématiques)

Infos
L'analyse (du grec άναλύειν) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C'est la branche des mathématique qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l'intégration. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes. Cependant, elles peuvent
Analyse (mathématiques)

L'analyse (du grec άναλύειν) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C'est la branche des mathématique qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l'intégration. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes. Cependant, elles peuvent aussi être définies et étudiées dans le contexte plus général des espaces topologiques ou métriques.

Histoire

Dans l'Antiquité et au Moyen Âge respectivement, les mathématiciens grecs et indiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. Pour des raisons historiques, leurs successeurs immédiats ne purent bâtir sur ces acquis. L'analyse moderne a été fondée au avec le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Au , les thèmes de l'analyse tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, l'analyse de Fourier et les fonctions engendrées étaient principalement développés dans les travaux appliqués. Les techniques de calcul infinitésimal étaient utilisées avec succès pour approcher des problèmes du discret par des problèmes du continu. Tout au long du , la définition de fonction était un sujet de débat parmi les mathématiciens. Au , Cauchy fut le premier à donner une fondation logique stricte du calcul infinitésimal en introduisant le concept de suite de Cauchy. Il commença aussi la théorie formelle de l'analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres étudièrent les équations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique. Au milieu du , Riemann introduit sa théorie de l'intégration : l'intégrale de Riemann. Durant le troisième tiers du , l'analyse se voit arithmétisée par Karl Weierstrass qui pensait que le raisonnement géométrique était en soi fallacieux, il introduit aussi la définition « ε-δ » des limites. Puis les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter du fait qu'ils supposaient sans preuve l'existence d'un continuum de nombres réels. Richard Dedekind construit donc les nombres réels avec les coupures de Dedekind (voir Construction des nombres réels). En même temps, les essais pour affiner les théorèmes de l'intégrale de Riemann ont mené à l'étude de la « taille » des ensembles discontinus de fonctions réelles. En outre, des « monstres » (des fonctions continues nulle part, des fonctions continues mais dérivables nulle part, des courbes de remplissage d'espace) commencèrent à être créés. Dans ce contexte, Marie Ennemond Camille Jordan développa sa théorie sur la mesure. Georg Cantor développa ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie naïve des ensembles. Au début du le calcul infinitésimal se formalise par théorie axiomatique des ensembles. Henri Lebesgue résolut le problème de mesure et David Hilbert introduit les espaces de Hilbert pour résoudre les équations intégrales. L'idée d'espace vectoriel normé était très étudiée dans les années 1920 et Stefan Banach créa l'analyse fonctionnelle.

Sous-divisions

Aujourd'hui l'analyse est divisée parmi les sous-thèmes suivants :
-Analyse numérique: s'intéresse à la résolution numérique de problèmes d'analyse tels que la résolution d'equations différentielles (Méthode des éléments finis...), le Calcul numérique d'une intégrale et l' Optimisation (mathématiques).
-Analyse réelle : l'étude rigoureuse et formelle des dérivées et des intégrales de fonctions à valeurs réelles. En incluant l'étude des limites, des séries potentielles et des mesures.
-Analyse fonctionnelle : l'étude des espaces des fonctions et l'introduction de concepts tels que les espaces de Banach et les espaces de Hilbert.
-Analyse harmonique : l'étude des séries de Fourier et de leurs abstractions.
-Analyse complexe : l'étude des fonctions du plan complexe et qui sont dérivables sur l'ensemble des nombres complexes.
-Analyse non-standard : l'étude des nombres hyperréels et de leur fonctions.

Bibliographie

E. Hairer, G. Wanner, L'analyse au fil de l'histoire, Springer, 2000
- Analyse Analyse ar:تحليل رياضي az:Riyazi analiz ca:Anàlisi matemàtica co:Analisa cs:Matematická analýza cy:Dadansoddi da:Matematisk analyse de:Analysis el:Μαθηματική ανάλυση en:Mathematical analysis eo:Analitiko es:Análisis matemático fa:آنالیز ریاضی fi:Analyysi gd:Anailis matamataigeach gl:Análise matemática he:אנליזה מתמטית io:Analitiko it:Analisi matematica ja:解析学 ka:მათემატიკური ანალიზი ko:해석학 (수학) la:Analysis lb:Analys (Mathematik) lij:Analixi Matematica lt:Matematinė analizė mk:Математичка анализа mt:Analisi Matematika nl:Analyse (wiskunde) pl:Analiza matematyczna pt:Análise matemática ro:Analiză matematică ru:Математический анализ simple:Mathematical analysis sk:Matematická analýza sl:Matematična analiza sq:Analiza matematike sr:Математичка анализа sv:Matematisk analys tk:Analiz tr:Matematiksel analiz uk:Математичний аналіз zh:数学分析
Sujets connexes
Analyse complexe   Analyse fonctionnelle (mathématiques)   Analyse numérique   Analyse réelle   Années 1920   Antiquité   Augustin Louis Cauchy   Bernhard Riemann   Calcul infinitésimal   Calcul numérique d'une intégrale   Construction des nombres réels   Continuité   David Hilbert   Dérivation   Espace de Banach   Espace de Hilbert   Espace vectoriel normé   Georg Cantor   Gottfried Wilhelm von Leibniz   Henri Léon Lebesgue   Intégrale de Riemann   Isaac Newton   Joseph Liouville   Karl Weierstrass   Limite   Limite (mathématiques)   Marie Ennemond Camille Jordan   Mesure (mathématiques)   Moyen Âge   Méthode des éléments finis   Nombre complexe   Nombre réel   Optimisation (mathématiques)   Richard Dedekind   Siméon Denis Poisson   Stefan Banach   Suite de Cauchy   Série de Fourier   Théorie axiomatique des ensembles   Théorie naïve des ensembles  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^