Géométrie algébrique

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La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques à la rencontre de la géométrie et de l'algèbre (l'algèbre commutative en toute exactitude). Basiquement, elle est l'étude des variétés algébriques, des ensembles de points définis par des équations polynomiales. Elle s'intéresse plus généralement aux schémas.
Géométrie algébrique

La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques à la rencontre de la géométrie et de l'algèbre (l'algèbre commutative en toute exactitude). Basiquement, elle est l'étude des variétés algébriques, des ensembles de points définis par des équations polynomiales. Elle s'intéresse plus généralement aux schémas.

Histoire

Les premiers travaux relevant de la géométrie algébrique remontent aux mathématiques arabes. Omar Khayyam proposa une méthode de résolution des équations cubiques par intersection d'un cercle et d'une parabole. Il combina la trigonométrie et les approximations fonctionnelles pour obtenir des méthodes de résolution géométriques des équations algébriques. La « Géométrie » de Descartes, inaugurant l'étude des courbes algébriques, marque la deuxième grande étape dans la genèse de cette disciplineDieudonné, « Cours de géométrie algébrique », vol. 1, chap.3.. À proprement parler, il faut attendre le début du vingtième siècle pour que la géométrie algébrique naisse comme partie de la géométrie à part entière. Son début fut initié par l'école italienne de la fin du (Enriques, Chisini, Castelnuovo, Segrè...). Ces géomètres étudiaient courbes et surfaces de l'espace projectif (réel et complexe). Ils introduisirent les notions de points voisins et points proches afin d'avoir une interprétation géométrique du théorème de Bezout. Le style assez libre de l'école italienne reste éloigné de la rigueur actuelle. Voir aussi les travaux de Max Noether en Allemagne. Après 1930, les écoles américaines (Zariski, Mumford...) et françaises (Weil, Samuel, Chevalley, Serre...) développèrent sous une forme plus algébrique l'études des variétés sur un corps commutatif quelconque en utilisant essentiellement la théorie des anneaux. Dans les années 1950 elle fut totalement transformée par les travaux de l'école française sous l'impulsion d'Alexander Grothendieck. En une décennie, le domaine se développa, répondant à des questions classiques sur la géométrie des variétés algébriques. Des applications furent très vite données à la théorie des nombres. Jean-Pierre Serre et Grothendieck jetèrent les bases de la théorie des faisceaux. Vers 1960, la notion de schéma s'imposa.

Notes

Référence

- Jean Dieudonné - Cours de géométrie algébrique (1974, 2 vol.), Pr. Universitaires de France,

Applications

- Géométrie
- Théorie des nombres
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Sujets connexes
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