Nabla

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Nabla, noté \nabla, est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont évidemment reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé de manière informelle en dimension 3 pour représenter aisément la divergence , le rotationnel et le laplacien vectoriel d'un champ vectoriel , ainsi que le gradient et le laplacien
Nabla

Nabla, noté \nabla, est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont évidemment reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé de manière informelle en dimension 3 pour représenter aisément la divergence , le rotationnel et le laplacien vectoriel d'un champ vectoriel , ainsi que le gradient et le laplacien d'un champ scalaire . Ces notions sont fondamentales en physique, notamment en électromagnétisme et en hydrodynamique.

Origine historique

La forme de Nabla vient d'un delta (\Delta) renversé, à cause d'une utilisation comparable (calcul différentiel), elle a été introduite par Peter Guthrie Tait en 1867. D'abord surnommé avec malice « atled » (delta à l'envers) par James Maxwell, le nom Nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom.

Utilisation en analyse vectorielle

Ceci est une liste de quelques formules d'analyse vectorielle d'emploi général en travaillant avec plusieurs systèmes de coordonnées. | class="wikitable" ! Opération ! Coordonnées cartésiennes (x, y, z) ! Coordonnées cylindriques (ρ, ф, z) ! Coordonnées sphériques (r, θ, ф) |----- ! Définitiondescoordonnées | | \begin x = \rho\cos\phi \\ y = \rho\sin\phi \\ z = z \end | \begin x = r\sin\theta\cos\phi \\ y = r\sin\theta\sin\phi \\ z = r\cos\theta \end |----- ! \overrightarrow A | A_x\overrightarrow x + A_y\overrightarrow y + A_z\overrightarrow z | A_\rho\overrightarrow \rho + A_\phi\overrightarrow \phi + A_z\overrightarrow z | A_r\overrightarrow r + A_\theta\overrightarrow \theta + A_\phi\overrightarrow \phi |----- ! \overrightarrow\nabla f = \overrightarrow\mathrm f | \partial f \over \partial x\overrightarrow x + \partial f \over \partial y\overrightarrow y + \partial f \over \partial z\overrightarrow z | \partial f \over \partial \rho\overrightarrow \rho + 1 \over \rho\partial f \over \partial \phi\overrightarrow \phi + \partial f \over \partial z\overrightarrow z | \partial f \over \partial r\overrightarrow r + 1 \over r\partial f \over \partial \theta\overrightarrow \theta + 1 \over r\sin\theta\partial f \over \partial \phi\overrightarrow \phi |----- ! \overrightarrow\nabla\cdot\overrightarrow A = \mathrm \overrightarrow | \partial A_x \over \partial x + \partial A_y \over \partial y + \partial A_z \over \partial z | 1 \over \rho\partial \rho A_\rho \over \partial \rho + 1 \over \rho\partial A_\phi \over \partial \phi + \partial A_z \over \partial z | 1 \over r^2\partial r^2 A_r \over \partial r + 1 \over r\sin\theta\partial A_\theta\sin\theta \over \partial \theta + 1 \over r\sin\theta\partial A_\phi \over \partial \phi |----- ! \overrightarrow\nabla \wedge \overrightarrow A = \overrightarrow\mathrm \overrightarrow | \begin (\partial A_z \over \partial y - \partial A_y \over \partial z) \overrightarrow x & + \\ (\partial A_x \over \partial z - \partial A_z \over \partial x) \overrightarrow y & + \\ (\partial A_y \over \partial x - \partial A_x \over \partial y) \overrightarrow z & \ \end | \begin (1 \over \rho\partial A_z \over \partial \phi - \partial A_\phi \over \partial z) \overrightarrow \rho & + \\ (\partial A_\rho \over \partial z - \partial A_z \over \partial \rho) \overrightarrow \phi & + \\ 1 \over \rho(\partial \rho A_\phi \over \partial \rho - \partial A_\rho \over \partial \phi) \overrightarrow z & \ \end | \begin 1 \over r\sin\theta(\partial A_\phi\sin\theta \over \partial \theta - \partial A_\theta \over \partial \phi) \overrightarrow r & + \\ (1 \over r\sin\theta\partial A_r \over \partial \phi - 1 \over r\partial r A_\phi \over \partial r) \overrightarrow \theta & + \\ 1 \over r(\partial r A_\theta \over \partial r - \partial A_r \over \partial \theta) \overrightarrow \phi & \ \end |----- ! \Delta f = \overrightarrow\nabla^2 f | \partial^2 f \over \partial x^2 + \partial^2 f \over \partial y^2 + \partial^2 f \over \partial z^2 | 1 \over \rho\partial \over \partial \rho\left(\rho \partial f \over \partial \rho\right) + 1 \over \rho^2\partial^2 f \over \partial \phi^2 + \partial^2 f \over \partial z^2 | 1 \over r^2\partial \over \partial r\left(r^2 \partial f \over \partial r\right) + 1 \over r^2\sin\theta\partial \over \partial \theta\left(\sin\theta \partial f \over \partial \theta\right) + 1 \over r^2\sin\theta\partial^2 f \over \partial \phi^2 |----- ! \Delta \overrightarrow A = \overrightarrow\nabla^2 \overrightarrow A | \overrightarrow x\Delta A_x + \overrightarrow y\Delta A_y + \overrightarrow z\Delta A_z | \begin \overrightarrow c \rho(\Delta A_\rho - A_\rho \over \rho^2 - 2 \over \rho^2\partial A_\phi \over \partial \phi) & + \\ \overrightarrow \phi(\Delta A_\phi - A_\phi \over \rho^2 + 2 \over \rho^2\partial A_\rho \over \partial \phi) & + \\ \overrightarrow z \Delta A_z & \ \end | rowspan="2" | \begin \overrightarrow r & (\Delta A_r - 2 A_r \over r^2 - 2 A_\theta\cos\theta \over r^2\sin\theta \\ \ & - 2 \over r^2\partial A_\theta \over \partial \theta - 2 \over r^2\sin\theta\partial A_\phi \over \partial \phi) & + \\ \overrightarrow \theta & (\Delta A_\theta - A_\theta \over r^2\sin^2\theta \\ \ & + 2 \over r^2\partial A_r \over \partial \theta - 2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta\partial A_\phi \over \partial \phi) & + \\ \overrightarrow \phi & (\Delta A_\phi - A_\phi \over r^2\sin^2\theta \\ \ & + 2 \over r^2\sin\theta\partial A_r \over \partial \phi + 2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta\partial A_\theta \over \partial \phi) & \ \end |----- align="left" | colspan="3" | Règles de calcul non évidentes: \mathrm\overrightarrow =\overrightarrow \nabla\cdot\overrightarrow \operatorname\ \overrightarrow\operatorname f = \overrightarrow \nabla \cdot (\overrightarrow \nabla f) = \overrightarrow \nabla^2 f = \Delta f (laplacien) \overrightarrow\operatorname\ \overrightarrow\operatorname f = \overrightarrow \nabla \wedge (\overrightarrow \nabla f) = \overrightarrow 0 \operatorname\ \overrightarrow\operatorname \overrightarrow = \overrightarrow \nabla \cdot (\overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow ) = 0 \overrightarrow\operatorname\ \overrightarrow\operatorname \overrightarrow = \overrightarrow \nabla \wedge (\overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow ) = \overrightarrow \nabla (\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow ) - \overrightarrow \nabla^2 \overrightarrow = \overrightarrow\operatorname\ \operatorname \overrightarrow A - \Delta \overrightarrow A \Delta f g = f \Delta g + 2 \overrightarrow \nabla f \cdot \overrightarrow \nabla g + g \Delta f Formule de Lagrange pour le produit vectoriel : \overrightarrow \wedge (\overrightarrow \wedge \overrightarrow ) = \overrightarrow (\overrightarrow \cdot \overrightarrow ) - \overrightarrow (\overrightarrow \cdot \overrightarrow ) |- |+ Table avec les \nabla (nabla ou del) dans les coordonnées cylindriques ou sphériques |
-Note: les coordonnées sphériques auraient été plus naturelles si \theta avait été défini comme l'angle avec le plan X-Y. Attention à l'utilisation de ces opérateurs : il ne s'agit pas de produits scalaires, mais bien d'applications, malgré la notation \overrightarrow\nabla\cdot\overrightarrow A. Le résultat est le meme pour les coordonnées cartésiennes, mais devient faux pour les coordonnées curvilignes.

Voir aussi

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Sujets connexes
Analyse   Analyse vectorielle   Antiquité   Champ scalaire   Champ vectoriel   Connexion de Koszul   Coordonnées cartésiennes   Coordonnées cylindriques   Coordonnées polaires   Coordonnées sphériques   Delta   Divergence (mathématiques)   Gradient   Géométrie différentielle   Harpe   Nabla   Opérateur laplacien   Opérateur laplacien vectoriel   Produit vectoriel   Pseudovecteur   Rotationnel   Système de coordonnées  
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