Polynôme de Bernstein

Infos
Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe S. Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive du théorème de Stone-Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.
Polynôme de Bernstein

Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe S. Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive du théorème de Stone-Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description

Pour un degré m, il y a m+1 polynômes de Bernstein B^m_0, \dots, B^m_m définis, sur l'intervalle , par :B_i^m(u) = \begin m \\ i \end u^i \left( 1-u \right)^, où les \begin m \\ i \end sont les coefficients binomiaux. Ces polynômes présentent quatre propriétés importantes :
- Partition de l'unité : \qquad \sum_^m B_i^m(u) = 1, \qquad \forall u \in
- Positivité : B_i^m(u) \geq 0, \qquad \forall u \in , \forall i \in 0 \dots m
- Symétrie : B_i^m(u) = B_^m(1-u), \qquad \forall u \in , \forall i \in 0 \dots m
- Formule de récurrence : B_i^m(u) = \begin (1-u)B_i^(u), & i = 0\\ (1-u)B_i^(u) + u B_^(u), &\forall i \in 1 \dots m-1\\ uB_^(u), & i = m \end , \qquad \forall u \in . On notera la grande ressemblance des polynômes avec la loi binomiale. Exemple de polynômes de Berstein de degré 3

Voir aussi

- Algorithme de De Casteljau, permet de calculer efficacement les polynômes de Bernstein
- Approximation de Bernstein, permet d'approcher uniformément des fonctions continues Catégorie:Analyse réelle Catégorie:Calcul numérique Bernstein cs:Bernsteinův polynom de:Bernsteinpolynom en:Bernstein polynomial it:Polinomio di Bernstein pl:Wielomiany Bernsteina pt:Polinómios de Bernstein sv:Bernsteinpolynom
Sujets connexes
Algorithme de De Casteljau   Approximation de Bernstein   Coefficient binomial   Courbe de Bézier   Loi binomiale   Sergeï Natanovitch Bernstein   Théorème de Stone-Weierstrass  
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