Loi de Stefan-Boltzmann

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En physique, la loi de Stefan-Boltzmannou de Stefan. établit que la puissance totale rayonnée par unité de surface dans le demi-espace libre du corps noir (exitanceAppellation recommandée par la Commission internationale de l'éclairage (anciennement émittance énergétique). énergétique du corps noir) s'exprime par la formule : :\ M = \sigma T^4 où \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann (aussi appelée constante de Stefan).
Loi de Stefan-Boltzmann

En physique, la loi de Stefan-Boltzmannou de Stefan. établit que la puissance totale rayonnée par unité de surface dans le demi-espace libre du corps noir (exitanceAppellation recommandée par la Commission internationale de l'éclairage (anciennement émittance énergétique). énergétique du corps noir) s'exprime par la formule : :\ M = \sigma T^4 où \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann (aussi appelée constante de Stefan).

Loi de Planck

La loi de Stefan se déduit de la loi de Planck, qui permet de déterminer la luminance énergétique totale : : L = \int_^\infty L_\lambda d\lambda La luminance dans une direction donnée étant par ailleurs pondérée par le cosinus de l'angle par rapport à la normale à la surface émettrice (loi de Lambert), l'exitance énergétique du corps noir est ainsi égale à : :\ M = \pi L

Démonstration

On part de l'expression de la densité spectrale émise par un corps noir (Loi de Planck). On travaille en terme de pulsation. Si u est l'énergie interne par unité de volume (u = \frac \partial U \partial V), la densité spectrale est l'énergie des photons de pulsation comprise entre \omega et \omega + d\omega : u_\omega = \frac\partial u\partial \omega = \frac\hbarc^3\pi^2\frac\omega^3\exp \left(\frac\hbar\omega \right)-1 Note : si on veut travailler en longueur d'onde, on peut écrire que u_\lambda = \frac\partial u\partial \lambda = \frac\partial u\partial \omega \frac\partial \omega\partial \lambda. En effet, \omega = \frac2\pi c\lambda donc d\omega = -2\pi c\fracd\lambda\lambda^2 et u_\lambda = -\frac8\pi hc\lambda^5\frace^\frac\lambda k_B T-1 Dans la suite de l'article, on ne travaillera que en pulsation, sachant que tous les calculs peuvent être effectués en utilisant \lambda = 2\pi\frac\omega On cherche maintenant à exprimer la puissance surfacique totale (pour toutes les pulsations) émise par un Corps noir. On montre que si \varphi_e est la puissance émise par une unité de surface d'un corps noir, on a \fracd\varphi_ed \omega = \fracu_\omega. La puissance totale étant obtenue en sommant toutes ces puissances pour chaque pulsation, on cherche à calculer \int_^\infty \frac\hbar4\pi^2c^2\frac\omega^3e^\frac\hbar\omega-1\, d\omega En effectuant le changement de variable x = \frac\hbar\omega, on obtient P_ = \frac4\pi^2c^2\hbar^3 \int_^\infty \frac \, dx = \sigma T^4 avec \sigma = \frac4\pi^2c^2\hbar^3\frac\pi^4 = \frac\pi^2 k_B^460c^2\hbar^3 = 5.67.10^ SI

Histoire

La loi de Stefan-Boltzmann a été découverte expérimentalement par Jožef Stefan (1835-1893) en 1879, et ses fondations théoriques ont été posées dans le cadre de la thermodynamique par Ludwig Boltzmann (1844-1906), en 1884. Cette loi est la seule loi physique qui porte le nom d'un physicien slovène. Stefan publia cette loi le 20 mars dans l'article (allemand) Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Sur les relations entre radiation thermique et température) dans le Bulletins from the sessions de l'Académie des sciences de Vienne.

Température du Soleil

Grâce à cette loi, Stefan détermina également la température de la surface du Soleil. Il apprend, des données de Charles Soret (1854–1904), que le flux énergétique du Soleil est 29 fois plus grand que celui d'une lamelle de métal chauffée. Soret avait placé une lamelle circulaire devant son appareil de mesure, à une distance telle qu'elle apparaissait sous le même angle que le Soleil. Il avait estimé la température de la lamelle entre 1900 °C et 2000 °C. Stefan suppose que le tiers du flux énergétique du Soleil est absorbé par l'atmosphère terrestreLa mesure précise de l'absorption atmosphérique ne fut pas réalisée avant 1888 et 1904., ainsi il corrige ce rapport du facteur 3/2 : 29 × 3/2 = 43, 5. Stefan retient la valeur moyenne des mesures de température de 1950°C, ce qui correspond à une température absolue de 2223 K. L'application de sa loi conduit à une température du Soleil égale à 43, 50, 25=2, 568 fois la température de la lamelle ; ainsi Stefan obtient une valeur de 5709 K (la valeur est actuellement de 5780 K). Ce fut la première estimation sérieuse de la température du Soleil : les valeurs précédemment avancées variaient entre 1800 °C à 13 000 000 °C.

Rayon des étoiles

Avec la loi de Stefan-Boltzmann, les astronomes peuvent aisément calculer les rayons des étoiles: En effet, la luminosité L d'une étoile s'écrit: :L = 4 \pi \sigma R^2 T^4 où, L est la luminosité, \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann (ou constante de Stefan), R le rayon de l'étoile, et T sa température. La loi est également respectée dans la thermodynamique des trous noirs pour la radiation de Hawking.

Notes

catégorie:Thermique Stefan de:Stefan-Boltzmann-Gesetz en:Stefan-Boltzmann law ko:슈테판-볼츠만 법칙 nl:Warmtestraling sl:Stefan-Boltzmannov zakon zh:斯忒藩-玻耳兹曼定律
Sujets connexes
Académie des sciences (France)   Allemand   Constante de Stefan-Boltzmann   Corps noir   Degré Celsius   Joseph Stefan   Loi de Lambert   Loi de Planck   Ludwig Boltzmann   Luminance   Physicien   Physique   Puissance (physique)   Slovène   Soleil   Stephen Hawking   Température   Thermodynamique   Trou noir   Vienne (Autriche)  
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