Formule de De Moivre

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La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre réel x et pour tout nombre entier n : : (\cos(x)+i\sin(x))^n = \cos(nx)+i \sin(nx)~, ou encore : (e^i\, x)^n = e^. Cette formule est importante car elle met en relation les nombres complexes (i étant l'unité imaginaire) et la trigonométrie.
Formule de De Moivre

La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre réel x et pour tout nombre entier n : : (\cos(x)+i\sin(x))^n = \cos(nx)+i \sin(nx)~, ou encore : (e^i\, x)^n = e^. Cette formule est importante car elle met en relation les nombres complexes (i étant l'unité imaginaire) et la trigonométrie. L'expression « cos(x) + i·sin(x) » est parfois abrégée en « cis x ».

Historique

On trouve cette formule de manière implicite dans l'oeuvre de De Moivre et Roger Cotes. Euler lui donne sa forme générale pour tout entier n vers 1750B. Hauchecorne, D. Suratteau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipses, 1996.

Démonstration de la formule

Soit x\in\mathbb Considérons trois cas. Pour n>0, nous procédons par récurrence. Lorsque n=1, la formule est vraie. Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 1 tel que la formule soit vraie. Cela signifie que :\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \, Nous avons : \begin \left(\cos x+i\sin x\right)^ & = \left(\cos x+i\sin x\right)^ \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left \left(\cos x+i\sin x\right) \qquad \rm d'apr\grave es\; l^\prime hypoth \grave ese\; de\; r\acute ecurrence\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left\\ & = \cos \left + i\sin \left\ \left(k+1\right) x \right\ \qquad \rm d^\primeapr\grave es\; les\; formules\; trigonom\acute etriques \end Nous en déduisons que la formule est vraie au rang k+1. D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels non nuls. Lorsque n=0, la formule est vraie puisque \cos (0x) + i\sin (0x) = 1 + i0 = 1, et par convention z^0 = 1. Lorsque n
Sujets connexes
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