Série de Dirichlet

Infos
En mathématiques, une série de Dirichlet, un des nombreux concepts nommés en l'honneur du mathématicien allemand Dirichlet, est une série dont le terme général est de la forme \frac, pour des coefficients an complexes. Quand elle existe, on définit la fonction somme de cette série :f(s)=\sum_^\infty \frac. La plus célèbre des fonctions sommes de séries de Dirichlet est la fonction Zeta de Riemann :\zeta(s)=\sum_^\infty \frac, Suivant la suite
Série de Dirichlet

En mathématiques, une série de Dirichlet, un des nombreux concepts nommés en l'honneur du mathématicien allemand Dirichlet, est une série dont le terme général est de la forme \frac, pour des coefficients an complexes. Quand elle existe, on définit la fonction somme de cette série :f(s)=\sum_^\infty \frac. La plus célèbre des fonctions sommes de séries de Dirichlet est la fonction Zeta de Riemann :\zeta(s)=\sum_^\infty \frac, Suivant la suite de coefficients an que l'on s'est donnée au départ, la série converge sur un domaine plus ou moins grand. Si la suite des coefficients a des propriétés arithmétiques intéressantes, la série aura elle aussi des propriétés remarquables. On connaît des méthodes pour écrire la fonction somme d'une série de Dirichlet sous forme intégrale, qui permettent parfois d'obtenir un prolongement analytique de la fonction même là où la série ne converge pas.

Exemples de décompositions en séries de Dirichlet

:\frac\zeta(s)=\sum_^\infty \frac\mu(n) où \mu(n)\, est la fonction de Möbius, :\frac\zeta(s-1)\zeta(s)=\sum_^\infty \frac\varphi(n) où \varphi(n)\, est l'indicatrice d'Euler, et :\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_^\infty \frac\sigma_(n) :\frac\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)\zeta(2s-a-b) =\sum_^\infty \frac\sigma_a(n)\sigma_b(n) où \sigma_a(n)\, est la fonction diviseur

Propriétés analytiques des séries de Dirichlet

Soit une suite _(n \in \mathbb)\, de nombres complexes, nous essayons d'examiner la valeur de : f(s) = \sum_^\infty \frac comme une fonction de la variable complexe s. Pour que cela prenne un sens, nous avons besoin d'examiner les propriétés de convergence de la série ci-dessus.

Abscisses de convergence

On peut considérer le domaine de convergence DC de la série, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de s pour lesquelles il y a convergence. On peut prouver, à l'aide du théorème d'Abel que s'il y a convergence pour un complexe s, tous les complexes ayant une partie réelle strictement plus grande seront eux aussi dans le domaine de convergence. Il faut donc faire intervenir le nombre suivant :A_c=\inf \s\in \mathbb, \sum_^+\infty \frac\hbox\ appelé abscisse de convergence de la série (valant éventuellement plus ou moins l'infini). Pour tout complexe dont la partie réelle est strictement supérieure à Ac, il y a convergence. Pour tout complexe dont la partie réelle est strictement inférieure à Ac, il y a divergence. De même il y a un domaine de convergence absolue DAC et une abscisse de convergence absolue Aac. Les deux abscisses sont liées par les inégalités :A_c\leq A_\leq A_c+1 Voici deux exemples de résultats sur les abscisses de convergence et de convergence absolue :
- Supposons que _(n \in \mathbb)\, soit une suite bornée de nombres complexes. Alors la série est absolument convergente sur le demi-plan ouvert de s tel que Re(s) > 1.
- Si l'ensemble des sommes a_n + a_ + \ldots + a_\, est borné pour n et k ≥ 0, alors la série converge sur le demi-plan ouvert de s tel que Re(
s'') > 0.

Propriétés de la fonction somme

Théorème : la fonction f est une fonction analytique sur le demi-plan ouvert de convergence. Dans beaucoup de cas, la fonction analytique associée à une série de Dirichlet possède un prolongement analytique sur un domaine plus large. Ceci est le cas pour la fonction zeta : Théorème. La fonction zeta possède un prolongement méromorphe sur \mathbb\ avec un unique pôle à s=1. Une des conjectures les plus importantes et non-résolues des mathématiques appelée l'hypothèse de Riemann concerne les zéros de la fonction zeta.

Historique

Une partie du développement de la théorie, vue sous l'angle historique se trouve sous ce lien. Catégorie:Analyse complexe Dirichlet (serie) Dirichlet Catégorie:Théorie analytique des nombres ca:Sèrie de Dirichlet de:Dirichletreihe en:Dirichlet series es:Serie de Dirichlet fi:Dirichlet'n sarja he:טור דיריכלה nl:Dirichletreeks
Sujets connexes
Allemagne   Fonction analytique   Fonction de Möbius   Fonction diviseur   Hypothèse de Riemann   Indicatrice d'Euler   Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet   Mathématicien   Mathématiques   Nombre complexe   Pôle (mathématiques)   Suite bornée   Série (mathématiques)   Série convergente   Théorème d'Abel (analyse)  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^