Théorème de Liouville (Hamiltonien)

Infos
En physique, le théorème de Liouville, nommé d'après le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltionien de la mécanique classique, mais aussi en mécanique quantique et en physique statistique. Ce théorème dit que le volume de l'espace des phases est constant le long des trajectoires du sytème, autrement dit ce volume reste constant dans le temps.
Théorème de Liouville (Hamiltonien)

En physique, le théorème de Liouville, nommé d'après le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltionien de la mécanique classique, mais aussi en mécanique quantique et en physique statistique. Ce théorème dit que le volume de l'espace des phases est constant le long des trajectoires du sytème, autrement dit ce volume reste constant dans le temps.

Équation de Liouville

L'équation de Liouville décrit l'évolution temporelle de la densité de probabilité \rho dans l'espace des phases. Cette densité de probabilté est défini par comme la probabilité pour que l'état du système soit représenté par un point à l'intérieur du volume \Gamma considéré.

En mécanique classique

On utilise les coordonnées généralisées (q, p)q= et p=. où N est la dimension du système. La densité de probabilité est défini par la probabilité \rho(p, q)\, d^Nq\, d^Np de rencontrer l'étatUn état est défini par l'ensemble des coordonnées généralisées q_i et q_i. du système dans le volume infinitésimal d^Nq\, d^Np. Losrqu'on calcule l'évolution temporelle cette densité de probabilité \rho(p, q), on obtient : :\fracd \rho =\frac\partial \rho \partial t+\sum_^\left = 0 On utilise alors les équations canoniques de Hamilton, en les remplaçant dans l'équation précédente : :\dot_i \ = \ \frac\partial H\partial p_i \quad ; \qquad \dot_i \ = \ - \frac\partial H\partial q_i d'où : :\frac\partial\partial t\rho(p, q, t)=-\\, \rho(p, q, t) , H\, \=\\, H, \rho(p, q, t)\, \ en utilisant les crochets de Poissons. démonstration|On considère l'équation de continuité d'un système conservatif : :\frac\partial\rho\partial t+\sum_^d\left(\frac\partial(\rho\dot_i)\partial q_i+\frac\partial(\rho\dot_i)\partial p_i\right)=0 or le second terme vautd'après les équations canoniques de Hamilton. : :\left(\frac\partial(\rho\dot_i)\partial q_i+\frac\partial(\rho\dot_i)\partial p_i\right)=\frac\partial\rho\partial q_i\dot_i+\rho\frac\partial \dot_i\partial q_i+\frac\partial\rho\partial p_i\dot_i+\rho\frac\partial \dot_i\partial p_i = \frac\partial \rho\partial t+\rho\frac\partial^2 H\partial q_i\partial p_i+ \rho\frac\partial^2 H\partial p_i\partial q_i On obtient bien : \fracd \rho =0

En mécanique quantique

D'après le principe de correspondance, on peux rapidement en déduire l'équation de Liouville en mécanique quantique : :\fraci\hbar = \left\ \hat H, \hat A \right\ + O(\hbar^2) d'où on déduit : :\frac\partial\partial t\hat \rho=\frac\hbar Ici, \hat H est l'opérateur hamiltonien et \rho la matrice densité. Parfois cette équation est aussi nommée l'équation de Von Neumann.

Théorème de Liouville

De l'équation de Liouville, on peut prouver le théorème de Liouville, qui peut se formuler comme : où bien : On peut montrer que le volume \Gammaest constant : :\fracd\Gamma = 0 Démonstration| :\fracd\Gamma = \iint \vec dS.\vec v où \vec v est le vecteur vitesse et \vec S un vecteur surface de \Gamma et à l'aide du théorème de Green-Ostrogradski, on trouve :\fracd\Gamma = \iint \vec dS.\vec v = \iiint d\Gamma \nabla \vec v = 0 car divergence du vecteur vitesse est nulvoir démonstration précédente.

Notes

Voir aussi

- Mécanique Hamiltionienne
- Espace des phases
- Hypothèse ergodique
- Matrice densité

Bibliographie

-
- Catégorie:Mécanique classique Catégorie:Mécanique quantique Catégorie:Physique statistique de:Liouville-Gleichung en:Liouville's theorem (Hamiltonian) ja:リウヴィルの定理 pl:Twierdzenie Liouville'a ru:Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма uk:Теорема про збереження фазового об'єму
Sujets connexes
Coordonnées généralisées   Crochet de Poisson   Espace des phases   Hypothèse ergodique   Joseph Liouville   Matrice densité   Mécanique hamiltonienne   Mécanique quantique   Opérateur hamiltonien   Physique statistique   Principe de correspondance   Probabilité   Théorème de flux-divergence  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^