Arithmétique

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L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la . Son étymologie provient du mot grec qui signifie « nombre ». Autrefois, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs, et des nombres rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opé
Arithmétique

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la . Son étymologie provient du mot grec qui signifie « nombre ». Autrefois, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs, et des nombres rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opérations sur ces nombres. Les opérations arithmétiques traditionnelles sont l'addition, la division, la multiplication, et la soustraction. Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de développement décimal illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'exponentiation ou la racine carrée.

Histoire

Les premières traces d'opérations arithmétiques sont retrouvées en Afrique, en av J.-C. sur l'Os d'Ishango. Cet os aurait été entaillé afin d'effectuer des additions et des soustractions. Dans l'école pythagoricienne (Pythagore de Samos), à la deuxième moitié du avant J.-C., l'arithmétique était, avec la géométrie, l'astronomie et la musique, une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques (Mathemata). Celles-ci furent regroupées par les Romains sous le nom de Quadrivium qui fut considéré, avec le Trivium plutôt logique (grammaire, rhétorique, dialectique), comme les septem liberales artes (sept arts libéraux).

Arithmétique élémentaire

Ensembles utilisés en arithmétique

La totalité des nombres ont été regroupés dans des ensembles. Les plus connus sont :
- \mathbb : l'ensemble des entiers naturels (0;\, 1;\, 2;\, 3;\, 4; etc.)
- \mathbb : l'ensemble des entiers relatifs (-12;\, -2;\, 0 ;\, 5;\, 6; etc.)
- \mathbb : l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent avec un nombre fini de décimales \left ( -\frac;\, 6, 36;\, 0;\, 25;\mbox\right).
- \mathbb : l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire comme la fraction de deux décimaux; le nombre de décimales peut être infini mais doit être périodique. \left(1\over3;\, -5\over13;22\over7\mbox\right).
- \mathbb : l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire ceux dont la partie imaginaire est nulle (\pi, le nombre d'or, \sqrt 2)
- \Im : l'ensemble des nombres imaginaires purs, c'est-à-dire ceux dont la partie réelle est nulle (i par exemple)
- \mathbb : nombres complexes qui regroupent tous les nombres, qu’ils soient réels, imaginaires, ou une combinaision des deux. Certains de ces ensembles sont des sous-ensembles des autres ; Tous les éléments de \mathbb appartiennent aussi à \mathbb, par exemple. Mais à l'inverse, un élément de \mathbb n'est pas forcément élément de \mathbb. On peut représenter ces ensembles par des cercles concentriques: le plus petit est \mathbb, puis viennent \mathbb, \mathbb, \mathbb, \mathbb et \mathbb. Il est possible de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on notera \mathbb l'ensemble des nombres positifs de \mathbb. De même on notera \mathbb l'ensemble \mathbb privé de 0. On remarque entre autre que \mathbb\, =\, \mathbb et que \mathbb \backslash \mathbb\, =\, \mathbb (il s'agit de \mathbb « privé de » \mathbb.)

Propriétés

Les nombres et leurs combinaisons possèdent de nombreuses propriétés remarquables. C'est le cas des nombres dits premiers. Ce sont des éléments de \mathbb possédant uniquement deux diviseurs positifs distincts, à savoir 1 et eux-même. Les premiers nombres premiers sont 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17 etc. 1 n'est pas premier car il n'a pas 2 diviseurs distincts, mais un seul. Il existe une infinité de nombres premiers. En complétant une grille de taille 10\times10 avec les 100 premiers entiers non nuls, et en rayant ceux qui ne sont pas premiers, on obtient les nombres premiers appartenant à \ 1, \ldots 100 \ par un procédé appelé un crible d'Eratosthène, du nom du savant grec qui l'inventa. Les entiers naturels sont divisés en deux catégories bien connues des joueurs de roulette: les pairs et les impairs. Un entier n pair est un multiple de 2 et peut être noté n = 2\, k, avec k\in\mathbb Un nombre n impair n'est pas multiple de 2 et se note n = 2\, k + 1, avec k\in\mathbb. On montre que tout entier est soit pair soit impair, et au moins l'un des deux, et ce pour un unique k : on note \forall n\in\mathbb, \, \exists ! k\in\mathbb, \, \left(n=2\, k\lor n=2\, k+1\right) Les premiers entiers pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10 ... Les premiers entiers impairs sont 1, 3, 5, 7, 9, 11 ...

Voir aussi

-Addition des entiers naturels
-Associativité
-Commutativité
-Distributivité
-Transitivité
-Ordre des opérations
-Arithmétique saturée
-Nombre premier
- ar:حساب be-x-old:Арытмэтыка bn:পাটীগণিত br:Aritmetik ca:Aritmètica cs:Aritmetika da:Aritmetik de:Arithmetik en:Arithmetic eo:Aritmetiko es:Aritmética et:Aritmeetika eu:Aritmetika fa:حساب fi:Aritmetiikka gd:Àireamhachd gl:Aritmética he:אריתמטיקה hi:अंकगणित hr:Aritmetika ia:Arithmetica id:Aritmatika io:Aritmetiko is:Talnareikningur it:Aritmetica ja:算術 jbo:sapme'ocmaci jv:Ilmu hitung ka:არითმეტიკა ko:산술 la:Arithmetica lt:Aritmetika mk:Аритметика ms:Aritmetik nl:Rekenen no:Aritmetikk nov:Aritmetike pl:Arytmetyka pt:Aritmética qu:Yupa hap'ichiy ro:Aritmetică ru:Арифметика sc:Aritmètica simple:Arithmetic sk:Aritmetika sl:Aritmetika sr:Аритметика sv:Aritmetik sw:Hesabu ta:எண்கணிதம் th:เลขคณิต tl:Aritmetika tr:Aritmetik uk:Арифметика ur:حساب yi:חשבון zh:算术
Sujets connexes
Addition   Afrique   Arithmétique saturée   Arts libéraux   Associativité   Astronomie   Commutativité   Dialectique   Distributivité   Division   Développement décimal   Ensemble   Entier naturel   Entier relatif   Exponentielle   Fraction   Grammaire   Grec ancien   Géométrie   Géométrie algébrique   Mathématiques   Musique   Nombre   Nombre complexe   Nombre imaginaire pur   Nombre premier   Nombre rationnel   Nombre réel   Ordre des opérations   Partie imaginaire   Partie réelle   Pythagore   Racine carrée   Rhétorique   Rome antique   Samos   Sous-ensemble   Soustraction   Théorie des nombres   Transitivité (mathématiques)   Trivium Quadrivium   Unité imaginaire  
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