Théorème fondamental de l'arithmétique

Infos
En mathématiques, et en particulier en arithmétique, le théorème fondamental de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers ou théorème de factorisation unique est largement utilisé en arithmétique modulaire. Il énonce que chaque entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs. Par exemple, nous pouvons écrire
Théorème fondamental de l'arithmétique

En mathématiques, et en particulier en arithmétique, le théorème fondamental de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers ou théorème de factorisation unique est largement utilisé en arithmétique modulaire. Il énonce que chaque entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs. Par exemple, nous pouvons écrire :6936=2^3\times3\times17^2  ou encore  1200=2^4\times3\times5^2 et il n'existe aucune autre factorisation de 6936 ou 1200 sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus. Le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier (voir produit vide), de sorte que le théorème est aussi vrai pour 1.

Histoire

Dans le livre VII de ses Éléments, Euclide énonce que tout nombre non premier est divisible par un nombre premierLire la [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/propVII31.html proposition 31 du livre VII. Cette proposition plus faible que le théorème fondamental de l'arithmétique, est suffisante pour certaines applications. Le résultat était déjà connu et utilisé par des civilisations antérieures. Gauss En 1801 dans son livre Recherches arithmétiques, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) développe des arithmétiques sur d'autres structures. L'existence d'une factorisation est étendue aux entiers relatifs, aux polynômes à coefficients dans un corps ainsi qu'à un nouvel anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss. La notion de nombre premier est alors étendue. Elle s'applique de la même manière pour les polynômes irréductibles ou les nombres premiers de Gauss. Dans tous ces cas, la décomposition est complétée par un facteur correspondant à un élément inversible. Dans le cas des entiers relatifs le facteur est égal à (+ 1) si le nombre est positif et (- 1) s'il est négatif. La décomposition est encore généralisée à toute une classe d'anneaux : les anneaux factoriels.

Démonstration

La démonstration est constituée de deux parties : premièrement, nous avons à montrer que (1) chaque nombre peut vraiment être écrit comme un produit de nombres premiers ; puis nous avons à montrer que (2) deux représentations d'un même nombre sont essentiellement les mêmes.

(1) Existence

L'existence d'une décomposition en facteurs premiers d'un entier naturel parait a priori évidente. 28 n'est pas premier car est divisible par 4 ; il s'écrit donc 4
-7 et 4 s'écrit 2
-2. Malheureusement, si un tel raisonnement permet une recherche naïve de la décomposition d'un entier, il ne permet pas de prouver l'existence d'une décomposition pour n'importe quel entier. La preuve de l'existence ne peut s'appuyer que sur le principe de récurrence ou une propriété équivalente (que l'ensemble des entiers naturels vérifie par construction). Raisonnement par récurrence :
- 1 est le produit d'une famille vide de nombres premiers ;
- Supposons que tout entier inférieur à un entier n est produit d'une famille de nombres premiers. Deux possibilités apparaissent pour n :
- Soit n est premier, et donc produit d'un unique entier premier, à savoir lui-même. Le résultat est donc immédiatement acquis.
- Soit n se décompose sous la forme k.l avec k et l
Sujets connexes
Anneau (mathématiques)   Anneau factoriel   Arithmétique   Arithmétique modulaire   Carl Friedrich Gauss   Coefficient   Corps (mathématiques)   Décomposition en produit de facteurs premiers   Entier algébrique   Entier de Gauss   Entier relatif   Factorisation   Fonction additive   Fonction multiplicative   Identité de Bézout   Mathématiques   Nombre premier   Nombre premier de Gauss   Polynôme   Produit (mathématiques)   Produit vide   Sans perte de généralité  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^