Formule d'inversion de Möbius

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La formule d’inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du XIXe siècle par August Ferdinand Möbius . Elle a été généralisée plus tard à d’autres « formules d’inversion de Möbius »; voir l’algèbre d'incidence. La version classique déclare que si f et g sont des fonctions arithmétiques vérifiant : \forall n\in \mathbb^
- \quad g(n)=\sum_d\mid nf(d) alors :\forall n\in \mathbb^
- \quad f(n)=
Formule d'inversion de Möbius

La formule d’inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du XIXe siècle par August Ferdinand Möbius . Elle a été généralisée plus tard à d’autres « formules d’inversion de Möbius »; voir l’algèbre d'incidence. La version classique déclare que si f et g sont des fonctions arithmétiques vérifiant : \forall n\in \mathbb^
- \quad g(n)=\sum_d\mid nf(d) alors :\forall n\in \mathbb^
- \quad f(n)=\sum_d\mid ng(d)\mu(n/d) où μ est la fonction de Möbius et les sommes portent sur tous les diviseurs positifs d de n. La formule reste valable si f et g sont des fonctions définies sur l’ensemble des entiers naturels non nuls à valeurs dans un certain groupe abélien. En utilisant la convolution (voir fonction multiplicative), la formule d’inversion peut également s’écrire :μ
- 1 = ε (en fait μ
- 1
- f = f) où 1 est la fonction constante prenant la valeur 1, et ε est la fonction telle que ε(1)=1 et pour tout n≠1, ε(n)=0. Une formulation équivalente de la formule d’inversion plus utile en combinatoire s’énonce ainsi : si F et G sont des fonctions définies sur l’intervalle de degré donné

Soit p un nombre premier et \mathbf_ le corps fini à p éléments. Par des arguments d'algèbre élémentaires on peut démontrer que, pour tout entier naturel non nul n, X^-1 est le produit des polynômes irréductibles unitaires de \mathbf_ dont le degré divise n; en notant \nu(d)\, le nombre d'irréductibles unitaires de degré d on a donc, en prenant les degrés: \sum_d\nu(d)=p^\, . La formule d'inversion de Möbius permet alors d'obtenir, avec f(n)=n\nu(n)\, et g(n)=p^\, : \nu(n)=\frac\sum_\mu(n/d)p^\, . On voit en particulier que \nu(n)\, n'est jamais nul.

Voir aussi == Catégorie:Arithmétique en:Möbius inversion formula es:Fórmula de inversión de Möbius he:נוסחת ההיפוך של מביוס hu:Möbius-féle megfordítási formula it:Formula di inversione di Möbius ko:뫼비우스 반전 공식 ru:Обращение Мёбиуса zh:默比乌斯反转公式 zh-classical:默比烏斯反轉
Sujets connexes
August Ferdinand Möbius   Combinatoire   Corps fini   Fonction arithmétique   Fonction de Möbius   Fonction multiplicative   Groupe abélien   Nombre complexe   Positif   Principe d'inclusion-exclusion de Moivre   Théorie des nombres  
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