Maille (cristallographie)

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En cristallographie, la maille est un motif géométrique de nœuds qui, en se répétant indéfiniment, constitue un réseau cristallin. Une maille peut contenir un atome (dans le cas d'un cristal monoatomique), mais aussi un motif plus complexe (molécule, assemblage d'ions…). Le concept de maille a été proposé par Gabriel Delafosse à partir de la notion de « molécule intégrante » introduite par René Just Haüy, qui avait remarqué qu'un cristal se clive en des cr
Maille (cristallographie)

En cristallographie, la maille est un motif géométrique de nœuds qui, en se répétant indéfiniment, constitue un réseau cristallin. Une maille peut contenir un atome (dans le cas d'un cristal monoatomique), mais aussi un motif plus complexe (molécule, assemblage d'ions…). Le concept de maille a été proposé par Gabriel Delafosse à partir de la notion de « molécule intégrante » introduite par René Just Haüy, qui avait remarqué qu'un cristal se clive en des cristaux plus petits de même forme que le cristal d'origine. L'étude des cristaux par diffraction des rayons X a permis de valider cette hypothèse.

Problématique de la définition de la maille

L'image illustre le fait qu'il y a plusieurs manières de paver une surface en obtenant au final exactement les mêmes nœuds ; la définition d'une maille n'est pas unique Une maille se répète donc par translation. Le problème est que pour un cristal donné, on peut définir plusieurs mailles correspondant à plusieurs translations possibles. Ceci pose un problème, puisque deux cristallographes pourraient décrire un même cristal de deux manières différentes, sans s'apercevoir qu'il s'agit du même.

Maille primitive ou simple

La maille primitive ou maille simple est le motif géométrique le plus simple qui, en se répétant indéfiniment, constitue un réseau cristallin. Une maille primitive contient un nœud du réseau à chaque sommet, mais aucun nœud à l'intérieur de son volume ou de l'une de ses faces. Voir l'article détaillé Maille de Wigner-Seitz.

Maille réduite

Parmi les infinies mailles primitives, celle qui est basée sur les trois vecteurs de base non-coplanaires les plus petits est dite maille réduite.

Maille conventionnelle

Maille conventionnelle du réseau orthorhombique C La maille conventionnelle est une maille dont les axes sont parallèles aux directions de symétrie du réseau. Dans le cas de réseaux centrés, la maille conventionnelle n'est donc pas une maille primitive. Les cristaux dont les mailles conventionnelles sont transformées l'une en l'autre en ajoutant ou supprimant des nœuds soit au centre des faces, soit à l'intérieur du volume de la maille, appartiennent à la même famille cristalline. Exemple. La maille conventionnelle du réseau orthorhombique à base C centrée (maille noire dans la figure) possède des axes parallèles aux directions de symétrie du réseau, tandis que dans la maille primitive correspondante (maille rouge dans la figure) deux directions de symétrie sont bissectrices des axes (a et b). a'C, b'C, c'C sont les axes de la maille conventionnelle, a'P, b'P, c'P ceux de la maille primitive.

Maille élémentaire

Le terme maille élémentaire est le plus utilisé dans la littérature cristallographique francophone. Comme l'adjectif « élémentaire » le suggère, la maille en question ne contient qu'un seul nœud de réseau et coïncide donc avec la maille primitive ou simple. Toutefois, dans l'usage courant le terme est souvent utilisé comme synonyme de maille conventionnelle, donnant enfin une « maille élémentaire » qui, étant multiple, n'a plus le caractère « élémentaire ». L'usage de « maille élémentaire » pour désigner une maille multiple est abusif et doit être proscrit.

Unité asymétrique

L'unité asymétrique est la plus petite région de l'espace qui, sous l'action de toutes les opérations du groupe d'espace (et non seulement les translations, comme c'est le cas de la maille), permet de reconstruire la structure cristalline. Cela signifie que :
-les miroirs forment des faces de l'unité asymétrique ;
-les axes de rotations forment des arêtes de l'unité asymétrique ;
-les centres d'inversion soit forment des sommets de l'unité asymétrique soit sont positionnés au centre des faces ou des arêtes de l'unité asymétrique. Ces restrictions ne s'appliquent pas aux axes hélicoïdaux et aux miroirs translatoires. En mathématiques, l'unité asymétrique est dite région fondamentale ou domaine fondamental.

Conventions de repérage

Le réseau monoclinique n’ayant qu’une direction de symétrie, sa maille conventionnelle est normalement repérée :
- en prenant la direction de symétrie comme axe b ;
- en choisissant le sommet origine de façon à ce que les axes a et c forment le plus petit angle obtus.

Volume de la maille

Le volume de la maille est la racine carré du déterminant du tenseur métrique qui, dans le cas général (triclinique), correspond à la formule : | align="center" border="0" |V = abc \sqrt1 - \cos^2\alpha - \cos^2\beta - \cos^2\gamma + 2 \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma | Les volumes des mailles non tricliniques s'en déduisent aisément.

Voir aussi

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Sujets connexes
Atome   Cristal   Cristallographie   Diffraction   Déterminant (mathématiques)   Famille cristalline   Groupe d'espace   Indices de Miller   Ion   Maille de Wigner-Seitz   Molécule   René Just Haüy   Réseau de Bravais   Structure cristalline   Tenseur métrique  
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