E (nombre)

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La constante mathématique e (parfois appelée constante de Néper, du nom du mathématicien écossais John Napier qui introduisit les logarithmes) est la base des logarithmes naturels. Le nombre e, appelé nombre exponentiel par Euler en 1761, vaut approximativement : e \approx 27182818284590452353602874
E (nombre)

La constante mathématique e (parfois appelée constante de Néper, du nom du mathématicien écossais John Napier qui introduisit les logarithmes) est la base des logarithmes naturels. Le nombre e, appelé nombre exponentiel par Euler en 1761, vaut approximativement : e \approx 27182818284590452353602874

Considérations historiques

Le nombre e est probablement la constante réelle la plus importante des mathématiques après π : on la retrouve en effet dans la normalisation des fonctions exponentielles. Il est cependant difficile de dater avec exactitude son apparition dans la littérature. En effet, si Neper introduit les logarithmes comme artifice de calcul pour simplifier les calculs du sinus, du cosinus, du produit et du quotient, il ne précise pas de base particulière pour ces logarithmes et les logarithmes les plus courant à cette époque sont ceux en base 10. Les logarithmes naturels apparaissent pour la première fois en 1618 en appendice d'un traité de Napier probablement rédigé par William Oughtred. En 1624, Briggs donne l'approximation du logarithme décimal d'un nombre qu'il n'identifie pas avec précision, mais qui se révèle être e. En 1647, Grégoire de Saint-Vincent calcule l'aire sous l'hyperbole, mais ne met pas en évidence le nombre e. En 1661, Huygens est capable de faire le rapprochement entre l'aire sous l'hyperbole et les fonctions logarithmes. Comme e est le réel tel que l'aire sous l'hyperbole entre 1 et e vaille 1, il est probable que ce nombre fut remarqué à cette époque sans toutefois que l'on parle pour lui de la base du logarithme naturel. La première apparition de e comme nombre remarquable date de 1683, époque à laquelle Bernoulli s'intéresse aux calculs d'intérêt. Ce qui l'amène à étudier la limite de la suite (1 + 1/n)^n. Mais personne à ce moment ne fait le rapprochement entre ce nombre et les logarithmes naturels. Pourtant c'est durant cette période que l'on commence à entrevoir que la fonction logarithme de base a est la réciproque de la fonction exponentielle de base a. La communauté scientifique est alors mûre pour découvrir e. C'est dans une lettre de Leibniz à Huygens que ce nombre est enfin identifié comme la base du logarithme naturel, mais Leibniz lui donne le nom de b. On doit la notation e pour cette constante à Euler dans une lettre que celui-ci adresse à Goldbach en 1731. Le choix de e a donné lieu a de nombreuses conjectures : e pour Euler ? e pour exponentielle ? ou tout simplement e comme première voyelle disponible dans le travail d'Euler. Il existe un caractère spécial pour noter cette constante, ℮. C'est aussi Euler qui donne le développement de e en série : e = 1 + \frac + \frac + \cdots + \frac+ \cdots et en fraction continue : : e=2+\frac1+\frac2+\frac1+\frac1+\frac4+\frac1+\frac1+\frac6+\ldots Puisque e possède un développement en fraction continue infini, il est irrationnel. C'est Charles Hermite qui, en 1873, prouve que e est transcendant.

Définitions et propriétés

Définitions de e

Les considérations précédentes montrent que e peut être défini de plusieurs façons différentes
- e est le réel tel que \ln(e) = 1 pour ceux qui définissent la fonction \ln comme la primitive de la fonction x \to \frac qui s'annule en 1. C'est la raison pour laquelle cette constante est aussi appelée la base des logarithmes naturels
- e est le réel tel que \exp(1) = e pour ceux qui définissent la fonction \exp comme l'unique fonction vérifiant u'= u et u(0)=1.
- e est la limite de la suite \left(1 + \frac 1n\right)^n.
-e est égal à la série infinie \sum_^\infty \frac (avec la convention 0!=1). L'équivalence de ces quatre définitions provient des relations qui lient la fonction exponentielle, la fonction logarithme et les limites de suites.

Théorie des nombres

La constante de Néper apparaît largement dans la théorie des nombres. Les mathématiciens se sont très tôt intéressés à la nature du nombre e. L'irrationalité de e fut démontrée par Lambert en 1761 et plus tard par Euler. La démonstration peut se faire grâce à son développement en série (voir Démonstration de l'irrationalité de e) soit par son développement en fraction continue. La preuve de la transcendance de e fut établie par Hermite en 1873. On en déduit que, pour tout rationnel r (qui inclus les entiers naturels), et e^r est aussi transcendant, mais on ne sait pas encore (2007) si e^e est transcendant ou non. Les propriétés de ce nombre sont à la base du théorème de Lindemann-Weierstrass. Il a été conjecturé que e était un nombre normal.

Fonction exponentielle et équation différentielle

Pour tout réel x, \exp(x) = e^x où exp est l'unique fonction vérifiant l'équation différentielle y' = y et y(0)= 1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base e. Elle permet de donner toutes les solutions de l'équation différentielle y' = ay qui sont les fonctions définies par f(x) = Ce^.

Fonction trigonométrique

La recherche de l'unique solution complexe à l'équation différentielle u' = iu et u(0) = 1 conduit à la fonction u(x) = e^= \cos(x) + i\sin(x) et à l'identité d'Euler : : e^i\pi + 1 = 0 qui selon Richard Feynman est « la formule la plus remarquable du monde ». Euler lui-même aurait également été émerveillé de cette relation rassemblant cinq nombres fondamentaux : 0, 1, , , \pi.

Démonstration de l'irrationalité de e

Le nombre e est égal à la somme de la série de l'exponentielle de 1 : : e = \sum_^\infty \frac Ce développement peut être employé pour montrer qu'il est irrationnel. Démonstration, par l'absurde. Supposons qu'il existe deux entiers a et b tels que e=\frac, où a est strictement positif et b strictement supérieur à 1. Considérons le nombre :x = b\, !\left(e - \sum_^ \frac\right) Nous allons démontrer que x est un nombre entier strictement positif et strictement inférieur à 1, et cette contradiction établira l'irrationalité de e. :
-Pour voir que x est un nombre entier, remarquons que ::x = b\, !\left(e - \sum_^ \frac\right) = b\, !\left(\frac - \sum_^ \frac\right)= a \frac - \sum_^ \frac ::Or, b divise b! et, pour tout entier n compris entre 0 et b, n! divise b!, les quantités \frac et \frac sont donc entières, x est donc entier comme somme et différence d'entiers. :
-Pour voir que x est un nombre strictement positif et strictement inférieur à 1, remarquons que ::x = b\, !\sum_^\infty \frac et ainsi ::0 < x = \frac + \frac + \frac + \cdots ::< \frac + \frac + \frac + \cdots = \frac \ < 1 ::Ici, la dernière somme est une série géométrique de raison \frac. Puisqu'il n'existe aucun nombre entier strictement positif et strictement inférieur à 1, nous avons obtenu une contradiction, et ainsi e doit être irrationnel. CQFD

Voir aussi

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Sujets connexes
Bernoulli   CQFD   Charles Hermite   Christiaan Huygens   Christian Goldbach   Conjecture   Division euclidienne   Fonction trigonométrique   Fraction continue   Grégoire de Saint-Vincent   Henry Briggs   Hyperbole (mathématiques)   Identité d'Euler   Johann Heinrich Lambert   John Napier   Leonhard Euler   Logarithme   Logarithme décimal   Logarithme naturel   Nombre irrationnel   Nombre normal   Nombre transcendant   Primitive   Richard Feynman   Série (mathématiques)   Série géométrique   Théorie des nombres   Théorème de Lindemann-Weierstrass   William Oughtred  
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