Spirale

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La spirale est une forme fréquente dans le monde animal et végétal, chez les gastéropodes par exemple En mathématiques, la spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour. Le terme spirale se réfère en général à une courbe plane. Lorsqu'une spirale se développe en trois dimensions, on parle plutôt d'hélice.
Spirale

La spirale est une forme fréquente dans le monde animal et végétal, chez les gastéropodes par exemple En mathématiques, la spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour. Le terme spirale se réfère en général à une courbe plane. Lorsqu'une spirale se développe en trois dimensions, on parle plutôt d'hélice.

Étymologie

La spirale est un des motifs qui semblent avoir fasciné l'homme depuis la préhistoire, des gravures celtes aux tatouages polynésiens En latin spira ou en grec speira, ce mot désigne un enroulement. Dans le langage courant, et notamment en dessin et en architecture les adjectifs spiral et spiralé désignent toutes les formes évoquant la spirale mathématique (escalier en spirale...) ou comprenant une suite de circonvolutions.

Spirales à deux dimensions

left Une spirale à deux dimensions se décrit facilement à l'aide de coordonnées polaires : le rayon r est donné par une fonction continue et monotone de l'angle θ. Le cercle en est alors un cas dégénéré. Il existe plusieurs types de spirales à deux dimensions. Voici les plus importantes :
-La spirale d'Archimède : r=a+b\cdot \theta ~
-La spirale hyperbolique : r=\frac\theta ~
-La spirale logarithmique : r=a\cdot b^\theta ~
-La spirale de Fermat : r=\sqrt\theta
-La spirale de Nielsen
-La spirale de Cotes
-La spirale de Galilée
-La spirale de Fibonacci : cas particulier de la spirale logarithmique construite avec un suite de Fibonacci Une spirale a nécessairement une infinité de spires distinctes; le rayon polaire peut croître indéfiniment avec l'angle, ou tendre vers une limite finie; dans ce dernier cas, la spirale est asymptote à un cercle et même parfois à une droite (spirale hyperbolique).

Spirales à centres multiples

L'éloignement progressif d'une spirale dépend du nombre des centres qui ont servi à la former. Il y a des spirales :
- à 2 centres qui sont situés sur une même ligne,
- à 3 centres qui sont situés aux trois sommets d'un triangle équilatéral,
- à 4 centres qui sont situés aux quatre sommets des angles d'un carré.

Construction

Un procédé simple permet de tracer d'un mouvement continu une spirale relativement régulière, par exemple pour la décoration de jardins : Il suffit d'enrouler un cordeau attaché à un piquet planté au centre désigné de la spirale. En déroulant ensuite le cordeau autour du piquet en le gardant tendu, une pointe maintenue verticale et attachée au bout de ce cordeau permet de tracer au sol une spirale au fur à mesure que le cordeau se déroule. Dans ce procédé, les spires de la ligne tracée sont évidemment d'autant plus écartées, que le piquet central est plus gros.

Construction d'une fausse spirale (ou spirale approximative) sur une feuille de papier

Avec un compas et une règle :
- Tracer une droite qui partage la feuille en deux parties égales.
- Placer deux points A1 et A2 sur la droite aux environs du centre de la feuille. La distance entre le point A1 et le point A2 paramètre la concentration de la courbe. Plus cette distance est courte, plus la spirale sera concentrée.
- Piquer le compas sur le point A1. L'écarter de la distance A1A2.
- Tracer le demi-cercle d'origine A2. Noter A3 le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.
- Piquer le compas sur le point A2. L'écarter de la distance A2A3.
- Tracer le demi-cercle d'origine A3. Noter A4 le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.
- Piquer le compas sur le point A3. L'écarter de la distance A3A4.
- Tracer le demi-cercle d'origine A4. Noter A5 le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.
- etc. Le résultat est une spirale construite à partir de demi-cercles dont le rayon double à chaque fois. Plusieurs variantes sont possibles et combinables :
-le rayon de chaque demi-cercle ne double pas mais est plutôt augmenté d'une valeur fixe ;
-tracer des quarts de cercles au lieu de demi-cercles (nécessite deux droites perpendiculaires).

Exemples

Spirale triple, constituant la figure du triskel des celtes. spirales d'Archimède l'une dans l'autre, qui évoque schématiquement le principe de certaines pompes. Le point de contact entre les 2 spirales se déplace lui-même en suivantle dessin de la spirale rouge. En botanique, la spirale est présente dans la disposition des graine du tournesol, ou dans le point d'insertion des feuilles sur la tige (l'angle dièdre passant par l'axe de la tige et deux points qui se succèdent est la divergence, valeur caractéristiques de l'espèce).

Culture

- la spirale est un motif fréquent dans la décoration (frises, bijoux, tissus, dessins, tatouages, carrelages, etc)
- Regarder une spirale qui tourne provoque un effet d'optique, qui fascine et est réputé faciliter l'hypnose. C'est un thème souvent exploité dans les dessins animés.
- En bande dessinée, les yeux d'un personnage dessinés en spirale évoquent - selon le contexte - la confusion du personnage, le fait qu'il soit sonné, fou, etc.

Voir aussi

Liens connexes

- Développante du cercle
- Vortex ===
Sujets connexes
Botanique   Cercle   Compas (géométrie)   Continuité   Coordonnées polaires   Courbe   Courbe plane   Dimension   Distance entre deux points sur le plan cartésien   Droite (mathématiques)   Développante du cercle   Forme   Hélice   Intersection (mathématiques)   Motif   Point (géométrie)   Préhistoire   Rayon (géométrie)   Règle (instrument de géométrie)   Spirale d'Archimède   Spirale logarithmique   Suite de Fibonacci   Tournesol   Vortex  
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