Fonction de Liouville

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La fonction de Liouville, notée λ(n) et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction importante de la théorie des nombres. Si n est un entier positif, alors λ(n) est définie par : :\lambda(n) = (-1)^\Omega(n)\, \! , où Ω(n) est le nombre de diviseurs premiers de n, comptés avec leur ordre de multiplicité. . λ est complètement multiplicative car Ω(n) est additive. Nous avons Ω(1
Fonction de Liouville

La fonction de Liouville, notée λ(n) et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction importante de la théorie des nombres. Si n est un entier positif, alors λ(n) est définie par : :\lambda(n) = (-1)^\Omega(n)\, \! , où Ω(n) est le nombre de diviseurs premiers de n, comptés avec leur ordre de multiplicité. . λ est complètement multiplicative car Ω(n) est additive. Nous avons Ω(1)=0 et par conséquent λ(1)=1. La fonction de Liouville satisfait l'identité : :\Sigma_\lambda(d)=1\, \! si n est un carré parfait, et : :\Sigma_\lambda(d)=0\, \! sinon.

Séries

La série de Dirichlet pour la fonction de Liouville est reliée à la fonction Zeta de Riemann par la formule :\frac\zeta(2s)\zeta(s) = \sum_^\infty \frac\lambda(n) La série de Lambert pour la fonction de Liouville est :\sum_^\infty \frac\lambda(n)q^n = \sum_^\infty q^ = \frac\left(\vartheta_3(q)-1\right) où \vartheta_3(q) est une fonction theta de Jacobi.

Conjectures

Pólya a conjecturé que L(n) = \sum_^n \lambda(k) \leq 0 pour n>1. Ceci fut réfuté par Minoru Tanaka, n=906 150 257 étant le plus petit contre-exemple. On ignore si L(n) change de signe infiniment souvent. Si on définit M(n) = \sum_^n \frac\lambda(k), alors il semblait possible que M(n)>0 pour n suffisamment grand, ce qui a été réfuté en 1958 par Haselgrove. Paul Turán avait montré que cette propriété implique l'hypothèse de Riemann Catégorie:fonction arithmétique en:Liouville function it:Funzione di Liouville sv:Liouvilles lambda-funktion zh:劉維爾函數
Sujets connexes
Carré parfait   Conjecture   Fonction additive   Fonction multiplicative   Fonction theta   France   George Pólya   Hypothèse de Riemann   Joseph Liouville   Mathématicien   Multiplicité   Série de Dirichlet   Série de Lambert   Théorie des nombres  
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