Caractéristique d'un anneau

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En algèbre, la caractéristique d'un anneau unitaire A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative. De manière informelle, La caractéristique d'un anneau est le nombre de fois qu'il faut ajouter l'élément neutre de la loi multiplicative pour obtenir l'élément neutre de la loi additive. Pour un anneau unitaireLe cas de l'anneau nul est exclu. (A, + , \times), on note 0_A l'élément neutre de « + » et 1_A celui de «
Caractéristique d'un anneau

En algèbre, la caractéristique d'un anneau unitaire A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative. De manière informelle, La caractéristique d'un anneau est le nombre de fois qu'il faut ajouter l'élément neutre de la loi multiplicative pour obtenir l'élément neutre de la loi additive. Pour un anneau unitaireLe cas de l'anneau nul est exclu. (A, + , \times), on note 0_A l'élément neutre de « + » et 1_A celui de « \times ». Il existe un unique homomorphisme d'anneaux unitaires f de \mathbb dans A (\mathbb est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un nombre entier strictement positif, on a : f(n)=1_A+\cdots+1_A\, , où 1_A est répété n fois. Comme \mathbb est un anneau euclidien, le noyau de f est principal et par définition, la caractéristique de A est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique nombre entier positif ou nul c tel que le noyau de f soit l'idéal c\mathbb.

Propriétés sur les anneaux

-La caractéristique d'un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier. En effet, si la caractéristique d'un anneau unitaire A est un entier non nul p>0 divisible, elle peut s'écrire : p = n \times m où n et m sont strictement supérieurs à 1. En reprenant les notations ci-dessus, comme f est un homomorphisme d'anneaux, f(n\times m)=f(n)\times f(m)=0. Si A est intègre, l'un des facteurs f(n) ou f(m) est nul. Cela contredit la définition de p, qui, comme générateur positif du noyau de f est le plus petit entier positif annulé par f. Donc p n'est pas divisible, il est premier.
-Si la caractéristique d'un anneau est nulle, celui-ci est infini, car il contient un sous-anneau isomorphe à \mathbb Z . L'homomorphisme f est injectif. Il induit un isomorphisme sur son image qui est un sous-anneau unitaire.
-Si B est un sous-anneau unitaire de A, alors A et B ont même caractéristique. L'homomorphisme \mathbb Z\rightarrow A se factorise évidemment à travers l'inclusion A\rightarrow B.
-Pour tout homomorphisme d'anneaux unitaires g:A\rightarrow B, la caractéristique de B divise celle de A. En effet, la composée des homomorphismes g.f est l'unique homomorphisme d'anneaux unitaires \mathbb Z\rightarrow B. Son noyau est l'image réciproque par f du noyau de g. Il contient notamment le noyau de f. Si p et q sont les caractéristiques de A et de B, q Z contient p Z. Donc, q divise p.
-Si A est un anneau commutatif, et si sa caractéristique est un nombre premier p, alors pour tous éléments x, y dans A, on a (x+y)^p = x^p+y^p. L'application définie par f(x)=x^p est un endomorphisme d'anneau injectif appelé endomorphisme de Frobenius. Le résultat découle immédiatement de la formule de Newton et de ce que p divise dans Z les coefficients binomiaux apparaissants dans le développement.

Propriétés sur les corps

-Si un corps K est de caractéristique nulle, il contient une copie de Q. S'il est de caractéristique p, il contient une copie de Z/pZ Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique de K est soit nulle soit un nombre premier p. Dans le premier cas, l'unique homomorphisme d'anneaux unitaires \mathbb Z \rightarrow \mathbb K est injectif ; comme K est un corps, il induit une injection du corps des fractions de Z, à savoir le corps des rationnels Q (par définition des rationnels). Dans le deuxième cas, l'unique homomorphisme d'anneaux unitaires \mathbb Z \rightarrow \mathbb K induit une injection de Z/pZ dans K. Or, comme p est premier, Z/pZ est un corps fini ; c'est l'unique corps fini Fp à p éléments.
-Tout corps fini a pour cardinal une puissance d'un nombre premier, qui en est sa caractéristique. Si K est un corps fini, pour des raisons de cardinalité, il ne peut pas contenir une copie de Q. Par ce qui précède, il est de caractéristique finie p et contient donc une copie du corps Fp. De fait, K est un espace vectoriel sur Fp ; sa dimension est nécessairement finie. Donc son cardinal est p à la puissance sa dimension.
-Il existe des corps infinis possédant une caractéristique non nulle p, celle-ci étant un nombre premier. C'est le cas par exemple du corps des fonctions rationnelles sur \mathbb Z/p\mathbb Z ou de la clôture algébrique de \mathbb Z/p\mathbb Z.
-Tout corps totalement ordonné a une caractéristique nulle. En effet, l'unique homomorphisme \mathbb Z \rightarrow \mathbb K est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif du corps, a fortiori différent de 0. C'est donc le cas des corps des nombres rationnels \mathbb Q, et donc de ceux des nombres réels \R et complexes \mathbb C (puisque \mathbb Q est un sous-anneau de ces deux anneaux).

Références

Ouvrages

Notes

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Sujets connexes
Algèbre   Anneau (mathématiques)   Anneau euclidien   Anneau intègre   Clôture algébrique   Corps fini   Endomorphisme   Endomorphisme de Frobenius   Nombre complexe   Nombre premier   Nombre rationnel   Nombre réel  
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