Entier de Gauss

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Carl Friedrich Gauss. En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un élément de l'anneau des entiers algébriques de l'extension quadratique des rationnel de Gauss. Il s'agit donc d'un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des entiers relatifs. L'ensemble des entiers de Gauss possède une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ord
Entier de Gauss

Carl Friedrich Gauss. En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un élément de l'anneau des entiers algébriques de l'extension quadratique des rationnel de Gauss. Il s'agit donc d'un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des entiers relatifs. L'ensemble des entiers de Gauss possède une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, il forme un anneau intègre, généralement noté \mathbb\, \!. De plus, ce qui est beaucoup plus rare, c'est un anneau euclidien et donc un anneau factoriel. Ils sont largement utilisés en théorie algébrique des nombres et en arithmétique modulaire, par exemple pour l'étude d'équations diophantiennes, Leur utilisation a permis à Carl Friedrich Gauss de démontrer la loi de réciprocité quadratique.

Histoire

Ouvrage traitant des entiers de Gauss 1801. Les entiers de Gauss ont été découverts alors que Gauss recherche une solution à la question des congruences des carrés étudié dans un premier temps par Fermat. Euler formalise la notion de résidu quadratique et conjecture la solution, c'est-à-dire la loi de réciprocité quadratique. Legendre reprend le théorème et propose une preuveAdrien-Marie Legendre, Théorie des nombres, 1798. incomplète et insuffisante. À l'âge de 18 ans, Gauss démontre le théorème. La démonstration est publiéeCarl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, 1801. trois ans plus tard. Il considère cette loi comme le joyau de l'arithmétique, l'appelant même le « théorème d'or ». Pour résoudre cette question, il découvre un ensemble : celui des entiers qui portent maintenant son nom. Ils bénéficient des mêmes propriétés arithmétique que les entiers relatifs. On y trouve la division euclidienne, l'équivalent du lemme d'Euclide, de l'identité de Bézout, des nombres premiers et du théorème fondamental de l'arithmétique. À l'aide de cette structure, il redémontre le théorème des deux carrés conjecturé par Fermat et démontré par Euler et ouvre la voie de l'arithmétique modulaire. L'utilisation d'une structure comme celle des entiers de Gauss subit des tentatives de généralisation pour s'appliquer à des cubes ou à des puissances quelconques. Elles débouchent dans le cas des cubes (voir entier d'Eisenstein) ou des puissances cinquièmes (voir entier de Dirichlet). En 1847 Gabriel Lamé utilise une méthode d'extension brutale et pense à tort avec démontré le grand théorème de Fermat. Sa méthode est inopérante car, à la différence des entiers de Gauss, son extension ne dispose pas de la propriété d'unicité du théorème fondamental de l'arithmétique. Kummer trouveErnst Kummer, Nombres complexes idéaux, 1846 une solution qui garantit à nouveau cette unicité. Cette méthode permet de généraliser la loi de réciprocité dans de nombreux cas, et prouve le grand théorème de Fermat dans tous les cas compris entre 3 et 100, exceptés 37, 59 et 67. L'étude de ce type de structure est alors largement développée par des mathématiciens comme DedekindRichard Dedekind, Leçons d'algèbre, 1871 ou HilbertDavid Hilbert, Théorie algébrique des corps de nombres, 1897 et prend le nom de théorie des anneaux.

Définition

Formellement, l'ensemble des entiers de Gauss Z est l'anneau des entiers algébriques du corps des rationnels de Gauss, c'est-à-dire l'ensemble des rationnels de Gauss dont le polynôme irréductible normalisé est à coefficients entiers. Il correspond aux nombres complexes qui peuvent être décrit de la façon suivante : :\mathbb=\a+bi \; |\; a, b\in \mathbb \. Les deux définitions sont équivalentes. boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= L'objectif est de montrer que l'ensemble des entiers de Gauss, c’est-à-dire les rationnels de Gauss ayant un polynôme minimal unitaire à coefficients entiers, est celui des nombres de la forme a + i.ba et b sont des entiers. :
-Si a et b sont entiers alors a + i.b est un entier de Gauss. En effet, a + i.b est racine du polynôme unitaire à coefficients entiers X2 - 2a.X + a2 - b2 :
-Réciproquement si e = a + i.b est un entier de Gauss alors a et b sont des entiers. Soit P le polynôme minimal de e: P=X^2+p.X+q \quad avec \quad p, q\in \mathbb \quad et \quad P(e)=0 Comme les coefficients du polynôme sont réels, les deux racines sont conjugées et l'on obtient les deux égalités : 2.a = -p et a2 + b2 = q. Ces égalités montre qu'il existe deux nombres entiers α et β tel que a = 2.α et aussi b = 2.β car le carré de 2.b est un entier. La deuxième égalité devient : (i)\quad 4.q=\alpha^2 + \beta^2\; Supposons que α soit impair, alors pour que le deuxième membre de l'égalité (i) soit paire, il est nécessaire que β soit aussi impair. Il existe alors deux entiers α' et β' tels que α = 2.α' + 1 et β = 2.β' + 1. L'égalité (i) devient : (ii)\quad 4.q=(2.\alpha'+1)^2 + (2.\beta'+1)^2=4(\alpha'^2+\beta'^2+\alpha'+\beta')+2\; Le deuxième terme de l'équation (ii) est congru à 2 modulo 4 alors que le premier est congru à zéro. En conclusion α ne peut être impair. Le fait que α soit pair implique que β est aussi pair, en conséquence a et b sont entiers.

Premières propriétés

Structure d'anneau

Réseau des entiers de Gauss. L'ensemble des entiers de Gauss muni de l'addition et de la multiplication forme un anneau. Cette propriété est générale aux entiers d'une extension de corps (voir Entier algébrique). Il est néanmoins simple de vérifier ici que l'ensemble est un sous-anneau de l'anneau des rationnels de Gauss (tout corps est aussi un anneau) : \forall a_1, a_2, b_1, b_2 \in \mathbb \quad (a_1+i.a_2)-(b_1+i.b_2)=(a_1-b_1)+i.(a_2-b_2)\in \mathbb \forall a_1, a_2, b_1, b_2 \in \mathbb \quad (a_1+i.a_2).(b_1+i.b_2)=(a_1.b_1-a_2.b_2)+i.(a_1.b_2+a_2.b_1)\in \mathbb En tant que sous-anneau du corps des rationnels de Gauss, il hérite de certaines propriétés, ainsi l'anneau est intègre et commutatif. Il est de plus unitaire et donc de caractéristique nulle. L'ensemble peut, de plus, être muni d'une structure de Z module, comme chaque anneau d'entiers algébriques et bénéficie des propriétés inhérentes à ces anneaux. Le module est libre et de type fini. Il possède donc une base, ici la base canonique est (1, i).

Norme

Trois entiers de Gauss : 1+i, 2+i et 1+3i. Comme tout anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss possède une norme. Si N est cette norme, elle est définie par : \forall a_1, a_2 \in \mathbb \quad N(a_1 + a_2i) = a_1^2 + a_2^2\, Elle possède une représentation grahique naturelle, la norme correspond au carré du rayon du cercle ayant pour centre l'origine et de rayon le carré du module du nombre. La figure de droite illustre ce fait, le nombre x égal à 1 + i est de norme 2 et y égal à 2 + i est de norme 5. La norme telle que définie ici semble incohérente avec celle d'un espace euclidien, une racine carrée est manquante. Leurs origines sont différentes, les généralisations des normes euclidiennes apparaissent comme la racine carré d'une somme de carrés dans un espace de dimension quelconque, dans le cas de la théorie des entiers algébrique, elle apparaît comme une somme de puissance de n si n est la dimension de l'extension. Sous le même mot, se cache deux notions différentes, même si, dans le cas particulier des entiers de Gauss, les formes sont analogues. :La norme est à valeur entière et toujours positive. Elle est de plus multiplicative. \forall x, y \in \mathbb \quad N(x.y) = x.\bar x.y.\bar y=x.y.\bar x.\bar y=N(x).N(y)\, Le graphique illustre cette propriété : x de norme 2 et y de norme 5 ont pour produit un entier de Gauss de norme 10. La norme permet de démontrer simplement quelques résultats, par exemple la recherche des éléments inversibles de l'anneau. Soit x un élément inversible. Alors N(x.x-1) = 1 = N(x).N(x-1) et la norme de tout élément inversible est égale à 1. Réciproquement si x est de norme 1 alors son conjugué est égal à son inverse et x est inversible. Le groupe des unités est composé des quatre éléments ayant une norme égale à un : 1, -1, i, -i.

Division euclidienne

right La norme possède une propriété plus importante : elle permet de définir une division euclidienne. :
- Soit a et b deux entiers de Gauss tel que b soit non nul, alors il existe un couple d'entiers de Gauss tel que : a=b.q+r\quad avec \quad N(r)
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