Fraction continue

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En mathématiques, une fraction continue ou fraction continuée est une expression telle que :x = a_0 + \cfraca_1 + \cfraca_2 + \cfraca_3+\, \cdots où a0 est un entier et tous les autres nombres an sont des entiers positifs. Les expressions plus longues sont définies de manière analogue. Si d'autres numérateurs que 1 sont autorisés, l'expression résultante est une fraction continue généralisée.
Fraction continue

En mathématiques, une fraction continue ou fraction continuée est une expression telle que :x = a_0 + \cfraca_1 + \cfraca_2 + \cfraca_3+\, \cdots où a0 est un entier et tous les autres nombres an sont des entiers positifs. Les expressions plus longues sont définies de manière analogue. Si d'autres numérateurs que 1 sont autorisés, l'expression résultante est une fraction continue généralisée.

Conflit de traduction

Extrait de Abrégé d'histoire des mathématiques de Jean Dieudonné : Le terme traditionnel en français est « fraction continue », ce qui risque d'entraîner des confusions fâcheuses lorsque la fraction dépend d'un paramètre variable ; l'anglais évite cette confusion en disant « continued » et non « continuous ». On rencontre ainsi parfois en français la traduction littérale : « fraction continuée ». Cependant, nous conserverons dans cet article le terme plus usité de fraction continue.

Motivation

Les fractions continues sont motivées par le désir d'avoir une représentation « mathématiquement pure » pour les nombres réels. La représentation la plus connue est, bien sûr, le développement décimal. Dans cette représentation, le nombre π, par exemple, est représenté par la suite d'entiers . Formellement, nous disons que la suite des entiers représentent le nombre réel r si :r = \sum_^\infty a_i 10^ où chaque ai (excepté éventuellement a0, qui peut être n'importe quel entier) est un élément de et cette suite ne possède pas de section finissante constante égale à 9. La dernière phrase signifie que 0.9999999... n'est pas la représentation décimale de 1 (dont la seule représentation décimale est 1.0000...) Cette représentation est un peu problématique, néanmoins. Un des problèmes est l'apparition de la constante arbitraire 10 dans la formule ci-dessus. Pourquoi 10 ? Ceci à cause d'un accident biologique, sans lien avec les mathématiques? Un autre problème est que les fractions manquent parfois de représentations finies dans ce système. Par exemple, le nombre 1/3 est représenté par la suite infinie . La notation en fraction continue est une représentation pour les nombres réels qui évite ces deux problèmes. Considérons comment nous pourrions décrire un nombre comme 415/93, qui est arrondi à 4, 4624. Ceci est approximativement 4. En réalité, il est légèrement plus grand que 4, environ 4 + 1/2. Mais le 2 du dénominateur n'est pas correct ; le dénominateur est légèrement plus que 2, environ 2 + 1/6, donc 415/93 est approximativement 4 + 1/(2 + 1/6). Mais le 6 du dénominateur n'est pas correct ; le dénominateur correct est légèrement plus que 6, en réalité 6+1/7. Donc 415/93 est en réalité 4+1/(2+1/(6+1/7)). Ceci est exact. En rabaissant les parties répétées de l'expression 4+1/(2+1/(6+1/7)), nous obtenons la notation abrégée . La représentation en fraction continue des nombres réels peut être définie de cette manière. Elle possède les propriétés désirées :
- La représentation en fraction continue pour un nombre est finie si et seulement si le nombre est rationnel.
- Les représentations en fractions continues pour les nombres rationnels « simples » sont courtes.
- La représentation en fraction continue pour un nombre irrationnel est unique.
- La représentation en fraction continue d'un nombre rationnel est presque unique : il existe exactement deux représentations pour chaque nombre rationnel, qui sont exactement les mêmes sauf qu'une finit avec ...a, 1] et l'autre avec ...a+1].
- En tronquant en amont la représentation en fraction continue d'un nombre x, nous obtenons une approximation rationnelle pour x qui est dans un certain sens l'approximation rationnelle la « meilleure possible » (voir ci-dessous pour une expression formelle). La dernière propriété est extrêmement importante et n'est pas vraie pour la représentation décimale conventionnelle. Tronquer la représentation décimale d'un nombre donne une approximation rationnelle de ce nombre, mais généralement pas une très bonne approximation. Par exemple, tronquer 1/7 = 0, 142857... à divers endroits donne des approximations telles que 142/1000, 14/100, et 1/10. Mais la meilleure approximation rationnelle est « 1/7 » lui-même. Tronquer la représentation décimale de π donne des approximations telles que 31415/10000 et 314/100. La représentation en fraction continue de π commence par . Tronquer cette représentation donne les excellentes représentations rationnelles 3, 22/7, 333/106, 355/113... Les dénominateurs de 314/100 et 333/106 sont presque les mêmes, mais l'erreur dans l'approximation 314/100 est dix-neuf fois plus grande que l'erreur dans 333/106. Une approximation de π telle que est précise à un millionnième. Cependant, l'écriture en fraction continue n'est compatible avec aucune opération de base sur les réels : connaître le développement de a et b ne permet pas de déterminer simplement celui de a + b, de ab ou de a/b. Ceci explique que le développement en fraction continue est souvent une fin en soi et n'est pas une écriture du nombre exploitable en dehors de la recherche de meilleures approximations.

Fragments d'histoire

L'écriture en fraction continue fait partie de la théorie des approximations diophantiennes consistant à approcher des quantités par des fractions. On trouve un usage des fractions continues dès le chez le mathématicien indien Âryabhata qui les utilise pour résoudre des équations diophantiennes. Au on les retrouve chez Rafael Bombelli pour l'extraction d'une racine carrée. Pietro Antonio Cataldi les étudie lorsqu'il cherche à extraire des racines carrées, c'est lui qui remarque que les approximations obtenues sont alternativement supérieures et inférieures à la racine carrée cherchée. On les retrouve ensuite au chez John Wallis qui leur donne le nom de continue fractum (Arithmetica infinitorum 1655), chez Christiaan Huygens qui les utilise pour construire les engrenages d'horloges astronomiques, chez William Brouncker qui est le premier à proposer le développement de 4 / π en fraction continue généralisée. Leonhard Euler démontre que si le développement est périodique, le nombre de départ est quadratique, mais c'est à Adrien-Marie Legendre que l'on en doit la réciproque. Johann Heinrich Lambert utilise la fraction continue généralisée de \tan(x) pour prouver que si \tan(x) est rationnel alors x est irrationnel et prouve ainsi que \pi est irrationnel ( \tan(\pi/4) = 1 ). Joseph Liouville utilise le développement en fraction continue généralisée pour exhiber des nombres non algébriques, c’est-à-dire transcendants. Ce sont les nombres de Liouville. Grâce à lui, Ferdinand von Lindemann prouve en 1882 que \pi est transcendant et démontre par la même que la quadrature du cercle est impossible à réaliser. En utilisant lui aussi les fractions continues, Charles Hermite prouve la transcendance de e, base du logarithme néperien. Georg Cantor prouve que et ^2 sont en bijection à l'aide des fractions continues.

Détermination

Calculs des représentations en fraction continue

Considérons un nombre réel r compris entre 0 et 1. Soit i la partie entière et f la partie fractionnaire de 1/r. Alors la représentation en fraction continue de r est , où « ... » est la représentation en fraction continue de 1/f. Si r n'est pas compris entre 0 et 1, alors il est de la forme i + f, où i est un entier et f est compris entre 0 et 1 ; alors r est représenté par où « ... » est la représentation en fraction continue de 1/f. Pour calculer une représentation en fraction continue d'un nombre r, chercher la partie entière de r. Soustraire cette valeur de r. Si la différence est 0, la procédure s'arrête ; autrement prendre l'inverse de la différence et répéter l'algorithme. L'algorithme s'arrêtera si et seulement si r est rationnel.

Notations pour les fractions continues

On peut abréger une fraction continue comme cela :x = \; ou dans la notation de Pringsheim, utile en particulier pour les fractions continues généralisées :x = a_0 + \frac1 \mid\mid a_1 + \frac1 \mid\mid a_2 + \frac1 \mid\mid a_3 ou une autre notation utilisée plus rarement, similaire à celle ci-dessus :x = a_0 + 1 \over a_1 + 1 \over a_2 + 1 \over a_3 + On peut aussi définir les fractions continues infinies comme des limites : : = \lim_n \to \infty Cette limite existe pour n'importe quel choix d'entiers positifs a1, a2, a3 ...

Réduites

Dans la fraction continue finie ou infinie, x = ou x = , on appelle réduite de rang n\, la fraction continue . On démontre que les réduites sont les meilleures approximations fractionnaires (voir définition plus loin) de x. Les réduites successives sont données par la formule de récurrence suivante : Réduite de rang 0 = \frac=\frac : Réduite de rang 1 = \frac=\frac : Réduite de rang n = \frac= \frac. On démontre que toutes les réduites de rang pair sont inférieures à x\, et celle de rang impair lui sont supérieures

Fractions continues finies

Pour les fractions continues finies, notons que := \; Donc, pour chaque fraction continue finie, il existe une autre fraction continue finie qui représente le même nombre, par exemple : = = 9/4 = 2, 25 \; Chaque fraction continue finie est un rationnel, et chaque nombre rationnel peut être représenté en précisément deux manières différentes sous forme de fraction continue finie (dans une représentation le terme final dans la fraction continue est 1 ; dans l'autre, plus courte, le terme final est plus grand que 1). C'est pourquoi, en général, pour conserver l'unicité, on impose que le dernier terme du développement soit supérieur à 1. Une écriture pratique permet de calculer facilement ces fractions continues finies. Fraction continue de 233/177 : 233 |177 177 | 56 +——— 56 | 9 +——— | 1 9 | 2 +——— | 3 | 1 +——— | 6 2 +——— | 4 0 | 2 d'où : : \frac = = \; Cette méthode consiste à appliquer l'algorithme d'Euclide. Le développement est alors obtenu en prenant la liste des quotients successifs dans cet algorithme. Le développement en fraction continue de son inverse 177/233 est : 177 | 233 233 |177 +———— 177 | 56 +——— | 0 56 | 9 +——— | 1 9 | 2 +——— | 3 | 1 +——— | 6 2 +——— | 4 0 | 2 d'où : : \frac = = \; Ce cas particulier se généralise, en effet si : :\frac = avec q \ne 0\; et p>q\;, alors :\frac =

Fractions continues infinies

Chaque fraction continue infinie est irrationnellle, et chaque nombre irrationnel peut être représenté en précisément une seule manière sous forme d'une fraction continue infinie. Une représentation en fraction continue infinie pour les nombres irrationnels est très utile principalement parce que les parties initiales fournissent d'excellentes approximations rationnelles du nombre.

Fractions continues infinies et périodiques

Certains irrationnels possèdent un développement en fraction continue périodique (périodique pur) ou périodique à partir d'un certain rang a_n\, . On démontre qu'un irrationnel possède un développement en fraction continue périodique si et seulement si cet irrationnel est un irrationnel quadratique (théorème de Lagrange). Par définition un irrationnel quadratique est de la forme \fracA \pm \sqrt B avec (A, C)\in \mathbb Z\times\mathbb Z^
-, \, B \in \mathbb N^
- non carré parfait. A partir d'un certain terme a_n\, , le développement en fraction continue peut être périodique ou périodique pur si cette période s'applique dès le premier terme. La notation \overlinea_n, a_, a_, \ldots permet d'exprimer cette période à partir du terme a_n\, .
-Exemples:
-Le nombre d'or \varphi\, \!= \frac1 + \sqrt = = (périodique pur)
-\sqrt = =
-\frac1+\sqrt = = (périodique pur)
-\sqrt = =
-\sqrt = =
-\sqrt = = On démontre d'une manière générale que si N\, n'est pas un carré parfait, le développement en fraction continue de sa racine carrée est périodique à partir du deuxième rang, ce développement n'est donc pas périodique pur, et que le dernier terme de la période est égal au double de la partie entière de \sqrt N; soit avec les notations indiquées : :\sqrt N = De plus, si l'on élimine le dernier terme 2a_0\, , la période est symétrique. La partie symétrique pouvant ou non avoir un terme médian, si bien que : :\sqrt N =
Quelques formules pour obtenir des fractions continues
Soit a un entier non nul alors :
- \sqrt=
- \sqrt=

Fractions continues infinies non périodiques

Elles regroupent l'ensemble de tous les irrationnels non quadratiques. En particulier, il n'est pas possible de prévoir le développement en fractions continues d'un irrationnel algébrique d'ordre supérieur à 2. Certaines fractions continues ont des comportements prévisibles: c'est le cas par exemple des puissances de e, la base des logarithmes naturels :
- e \; = = avec n \in \mathbb N^
-
- \sqrt = = avec n \in \mathbb N ou de la constante hyperbolique :
-\tanh(\frac) = \frace^\frac - e^-\frace^\frac + e^-\frac = = avec n \in \mathbb N^
- D'autres constantes mathématiques demandent un calcul, quotient par quotient. C'est le cas de π = . De plus, Khintchine a démontré que pour presque tous les nombres réels x, les ai (pour i = 1, 2, 3...) ont des propriétés surprenantes : leur moyenne géométrique est une constante (connue comme la constante de Khintchine, K ≈ 2, 6854520010...) indépendante de la valeur de x. Le terme presque tous signifie que cette propriété est valable sur \R - E où E\, est un ensemble de mesure nulle contenant entre autres, tous les rationnels et tous les nombres quadratiques. Paul Lévy a montré que la nième racine du dénominateur de la nième réduite d'un développement en fraction continue de presque tous les nombres réels approche une limite asymptotique, qui est connue comme la constante de Lévy.

Quelques théorèmes très utiles

:Si a0, a1, a2, ... est une suite infinie d'entiers positifs, définissons les suites h_n et k_n récursivement : ::h_=0, \ h_=1, \ h_=a_ih_+h_ ::k_=1, \ k_=0, \ k_=a_ik_+k_ et appelons x_n\, le réel Théorème 1 ::Pour tout y\in\mathbb positif :::\left= \frac Théorème 2 ::Les réduites de sont données par :::\left=\frac Théorème 3 ::Pour tout entier n \geq 1\, , k_nh_-k_h_n=(-1)^n\, \! :Corollaire 1 : \frac est donc l'écriture en fraction irréductible de la nième réduite (en effet, tout diviseur commun à h_n\, \! et k_n\, \! doit diviser k_nh_-k_h_n=(-1)^n\, \! donc doit diviser 1; ce qui assure que h_n\, \! et k_n\, \! sont premiers entre eux). :Corollaire 2 : La différence entre deux réduites successives est une fraction dont le numérateur est l'unité : : \left|\frac-\frac \right|= \left|\frac\right|= \frac :Corollaire 3 : La suite des réduites de rang pair et celle de rang impairs définissent deux suites adjacentes convergeant vers x = :Corollaire 4 : x\, est la limite de la série alternée x = a_0 + \sum_^\infty\frac Théorème 4 :: Pour tout entier n\, , x - \frac= \frac où x_n = :Corollaire 1 : \frac< \left|x-\frac\right|< \frac (il suffit de remarquer que a_ < x_ < a_+1\, ) :Corollaire 2 : N'importe quelle réduite qui précède immédiatement un grand quotient est une approximation proche de la fraction continue (en effet, si x_\, est très grand la différence \left|x - \frac\right| est petite) Théorème 5
- Pour tout entier n\, , \left|x - \frac\right|0) Les fractions continues généralisées ont des propriétés moins riches que les fractions continues et sont plus difficiles à manipuler. Il apparaît notamment des problèmes de convergence du fait que les réduites peuvent ne pas être des fractions irréductibles.

Une visualisation par un pavage de rectangle

Un moyen simple de comprendre et visualiser une fraction continue consiste à imaginer un rectangle de dimension L \times l\, tel que L \over l = x et de paver le rectangle par des carrés de côté l\, . Si x est entier alors le pavage comporte exactement x carrés Sinon, il reste une bande de dimension l \times l_1\, , que l'on cherche alors à paver avec des carrés de côté l_1 et ainsi de suite. 30/13= Si x est rationnel - Euclide aurait dit : si L et l sont des longueurs commensurables - alors le processus va s'arrêter et il existe une unité de longueur l_n qui permet de mesurer L et l. Le nombre de carrés de chaque taille donne alors la suite des entiers du développement en fraction continue. Ainsi, dans l'image ci-contre, on pave le rectangle 30 x 13 par deux carrés de côtés 13, la bande restante de largeur 4 est pavée de 3 carrés de côté 4, et la bande restante de largeur 1 est pavée de 4 carrés de côté 1. =17/10 De plus la présentation du pavage pour un rationnel donne un moyen rapide de le déterminer, puisque l'on connait l'unité de longueur permettant de mesurer L et l. Ainsi dans l'image ci-contre on peut retrouver le rationnel dont le développement est . Les trois petits carrés donnent la taille du carré suivant (3). Les deux carrés moyens et le petit carré donnent la taille du carré plus grand (7), le carré plus grand et le carré moyen donnent le dernier carré (10) et les deux derniers carrés donne la longueur du rectangle (17) Si x n'est pas rationnel - Euclide aurait dit : si L et l sont des longueurs non commensurables, le processus se déroule à l'infini. C'est le cas par exemple dans un rectangle d'or, pour x = \varphi (nombre d'or) où l'on remarque que l'on ne peut placer qu'un carré dans chaque bande et confirme que \varphi = Image:fractioncontinue3.png

Voir aussi

Bibliographie

-Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Pour La Science, Belin, 1997 (ISBN 2-9029-1825-9)
-
-Marc Guinot, "Lagrange et Legendre", Aléas, 1996.
-
-A. I. Khintchine, Continued Fractions, University of Chicago Press.
-Jean Trignan, Fractions continues & Différences finies, Editions du Choix, 1994 (ISBN 2-909028-16-X)
- Bulletin de l'APMEP n° 450 ==
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