Norme (mathématiques)

Infos
En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe. La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne. D'au
Norme (mathématiques)

En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe. La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne. D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels de dimension finie ou infinie, appelés alors espaces vectoriels normés. Elles sont notamment très importantes en analyse fonctionnelle pour obtenir des majorations, exprimer la différenciation sur les espaces de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, calculer estimations et approximations.

Géométrie euclidienne usuelle

Définition

Si A et B sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur \overrightarrow est la distance AB c'est-à-dire la longueur du segment . Elle se note à l'aide d'une double barre : \|\overrightarrow\|. La norme, la direction et le sens sont les trois données qui caractérisent un vecteur et qui ne dépendent donc pas du choix du représentant.

Calcul

La norme d'un vecteur peut se calculer à l'aide de ses coordonnées dans un repère orthonormé à l'aide du théorème de Pythagore.
- Dans le plan, si le vecteur \vec u a pour coordonnées \ (x ; y) sa norme s'écrit \|\vec u\| = \sqrt. : Si les points A et B ont pour coordonnées respectives \ (x_A, y_A) et \ (x_B, y_B) alors \|\overrightarrow\| = \sqrt.
- Dans l'espace, si le vecteur \vec u a pour coordonnées \ (x ; y ; z) sa norme s'écrit \|\vec u\| = \sqrt. : Si les points A et B ont pour coordonnées respectives \ (x_A ; y_A ; z_A) et \ (x_B ; y_B ; z_B) alors \|\overrightarrow\| = \sqrt. La norme d'un vecteur peut s'obtenir à partir du produit scalaire : :\|\vec u\| = \sqrt\vec u \cdot \vec u. Réciproquement, le produit scalaire peut s'obtenir à partir de la norme grâce à la relation : :\vec u \cdot \vec v = \frac\left(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\right).

Propriétés

- La norme ne s'annule que pour le vecteur nul \vec 0.
- La norme du produit par un nombre est le produit de la norme par la valeur absolue de ce nombre : ::\|k.\vec u\| = |k|\times \|\vec u\|. :En particulier, tout vecteur a la même norme que son opposé : \|-\vec u\| = \|\vec u\|.

Sur un espace vectoriel quelconque

Définition formelle

Soit K un corps muni d'une valeur absolue et E un K-espace vectoriel. Une norme sur E est une application \mathcal N sur E à valeurs réelles positives et satisfaisant les hypothèses suivantes :
- séparation : \forall x \in E, \ \mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E ;
- homogénéité : \forall (\lambda, x)\in \mathbb K \times E, \ \mathcal N (\lambda \cdot x) = |\lambda| \mathcal N (x) ;
- sous-additivité : \forall (x, y) \in E^2, \ \mathcal N (x + y) \leq \mathcal N (x) + \mathcal N (y) . ; Remarques :
- Les corps des réels et des complexes ne sont pas les seuls à admettre une valeur absolue. Tout corps fini supporte la valeur absolue constante égale à 1 en dehors de 0. Dans le cas des corps valués, la norme est même ultramétrique en vérifiant une certaine condition plus forte que la sous-additivité.
- Une fonction de E dans \R^+ qui ne satisfait que les hypothèses d'homogénéité et de sous-additivité est appelée semi-norme. Un espace vectoriel muni d'une norme est alors appelé espace vectoriel normé (parfois abrégé en EVN). L'image d'un vecteur x par la norme se note usuellement \|x\| et se lit « norme de x ».

Premières propriétés

- La norme est sous-linéaire, c'est-à-dire qu'elle vérifie la propriété suivante : ::\forall (\lambda, x, y) \in \mathbb K \times E^2\ , \ \|(\lambda \cdot x + y)\| \leq |\lambda|\cdot\|x\| + \|y\|.
- Plus généralement, on obtient par récurrence immédiate l'inégalité dans \R : :: \|\lambda_1\cdot x_1 + \dots + \lambda_n\cdot x_n\| \leq | \lambda_1|\times \|x_1\|+ \dots + |\lambda_n|\times \|x_n\| \ \ .
- La séparation et l'homogénéité garantissent les propriétés de séparation et de symétrie de la fonction d \colon (x, y) \mapsto \|y-x\|. La sous-additivité justifie alors l'inégalité triangulaire, ::\|z - x\| \leq \|z - y\| + \|y - x\| :nécessaire pour montrer que d est une distance sur E, qui plus est invariante par translation. :Un espace vectoriel normé est donc un espace métrique homogène et la topologie associée est compatible avec les opérations vectorielles.
- La sous-additivité permet d'obtenir la propriété suivante : ::\forall (x, y) \in E^2\ , \ \big| \|x\|- \|y\|\big| \leq \|x-y\| :qui montre que la norme est une application 1-lipschitzienne donc continue.
- La norme est aussi une fonction convexe, ce qui peut être utile pour résoudre des problèmes d'optimisation.

Topologie

La boule unité (ouverte) \mathcal d'une norme est l'ensemble des vecteurs de norme inférieure (strictement) à 1. Deux normes \mathcal N_1 et \mathcal N_2 sur un espace vectoriel E sont dites équivalentes s'il existe deux réels strictement positifs \alpha et \beta tels que : :\forall x \in E, \ \alpha N_1(x) \leq N_2(x) \leq \beta N_1(x). Cela correspond au fait que dans les boules ouvertes des deux normes puissent s'inclure l'une dans l'autre à dilatation près. Deux normes équivalentes définissent la même topologie sur l'espace vectoriel. Les structures sont même uniformément isomorphes. Sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. La boule unité ouverte est un ouvert convexe borné et équilibré de E.

Constructions génériques

- Tout produit scalaire sur un espace vectoriel réel E définit la norme euclidienne associée par : ::\forall x\in E, \ \|x\| = \sqrt\langle x, x\rangle. :Une norme \mathcal N est euclidienne (c'est-à-dire provient d'un produit scalaire) si et seulement si l'application (x, y) \mapsto \frac(\mathcal N(x+y)^2-\mathcal N(x)^2 - \mathcal N(y)^2) est bilinéaire :et dans ce cas cette application est le produit scalaire associé.
- Si f est une application linéaire injective de E dans F alors toute norme sur F induit une norme sur E par l'équation ::\mathcal \|x\|_E = \|f(x)\|_F.
- Si C est un ouvert convexe borné et équilibré d'un espace vectoriel réel ou complexe E, alors la jauge de C est une norme définie par ::\forall x\in E\ , \ J(x) = \inf\left\\lambda \in \R^+ \colon \frac\lambdax\in C\right\ :et dont C est la boule unité ouverte.
- Si E et F sont deux espaces vectoriels normés réels ou complexes, l'espace \ L_c(E, F) des applications linéaires continues est muni de la norme d'opérateur s'écrivant : ::\forall T \in L_c(E, F), \ \|T\| = \sup_x\in E-\0\\frac\|T(x)\|_F\|x\|_E.

Exemples

En dimension finie

L'ensemble des vecteurs de norme 1 dans R2 pour différentes normes Sur Kn,
- la norme euclidienne est obtenue à partir du produit scalaire ou du produit hermitien canoniques : :: \|(x_1, \dots, x_n)\| = \sqrt|x_1|^2 + \dots + |x_n|^2 :et elle correspond à la norme habituellement utilisée pour la distance entre deux points dans le plan ou l'espace usuels ;
- la norme 1 est donnée par la somme des modules (ou valeurs absolues) des coefficients : :: \|(x_1, \dots, x_n)\|_1 = |x_1| + \dots + |x_n| : et induit la distance de déplacement à angle droit sur un damier (ou dans les rues de ManhattanLa norme 1 est aussi appelée Manhattan norm en anglais.) ;
- plus généralement, pour tout p supérieur ou égal à 1, la norme p est donnée par la formule suivante : :: \|(x_1, \dots, x_n)\|_p = \left(|x_1|^p + \dots + |x_n|^p\right)^\frac, :elle identifie donc la norme euclidienne avec la norme 2, mais n'a surtout d'intérêt que dans sa généralisation aux espaces de fonctions ;
- la norme infini d'un vecteur est la limite de ses normes p lorsque p tend vers l'infini : :: \|(x_1, \dots, x_n)\|_\infty = \lim_p \rightarrow +\infty\|(x_1, \dots, x_n)\|_p = \max\left(|x_1|, \dots, |x_n|\right), :elle induit la distance de déplacement par les faces et par les coins dans un réseau, comme celui du roi sur l'échiquier. L'inégalité triangulaire pour les normes p s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder. D'autres exemples apparaissent classiquement :
- La norme sur l'espace des quaternions est la norme euclidienne appliquée à la base (1, i, j, k).
- L'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n peut être muni de normes issues d'espaces de fonctions (voir ci-dessous).

En dimension infinie

- Sur l'espace \mathcal C^0 des fonctions continues définies sur un segment de \R et à valeurs réelles ou complexes, on retrouve des normes p définies de manières analogues à celles sur les espaces vectoriels de dimension finie pour p supérieur ou égal à 1 : ::\|f\|_p = \left( \int_a^b |f(t)|^p \mathrm dt\right)^ :qui permettent notamment de définir les espaces Lp. :En particulier, la norme euclidienne associée au produit scalaire ou hermitien canonique est définie par ::\|f\| = \sqrt\int_a^b |f(t)|^2\mathrm dt. :La norme infini ou norme sup ou encore norme de la convergence uniforme s'écrit quant à elle ::\|f\|_\infty = \sup_t\in |f(t)| :et s'obtient là aussi comme limite des normes p lorsque p tend vers l'infini. :Toutes ces normes ne sont pas équivalentes deux à deux. :Par ailleurs elles s'étendent aisément aux espaces de fonctions continues sur un compact de \R^n, voire aux fonctions continues à support compact.
- Sur l'espace \mathcal C^1 des fonctions dérivables à dérivée continue, on peut utiliser l'une des normes ci-dessus ou prendre en compte aussi la dérivée à l'aide d'une norme comme suit : ::\|f\| = \int_a^b (|f(t)| + |f'(t)|\mathrm dt) :afin de considérer l'application dérivée de \mathcal C^1 dans \mathcal C^0 comme continue.
- Sur l'espace \ell^\infty des suites bornées, la norme naturelle est la norme sup : ::\|(u_n)_n\in\N\|_\infty = \sup_n \in \N|u_n|

Norme d'algèbre

Définition

Une norme \mathcal N sur une algèbre A est dite norme d'algèbre s'il existe une constante réelle C telle que : \forall (x, y) \in A^2, \mathcal N(x \times y) \leq \mathcal C N(x)\times \mathcal N(y) . Quitte à multiplier la norme par C, cette constante peut être ramenée à 1. La condition est alors celle de sous-multiplicativité. Dans le cas d'une algèbre réelle ou complexe, la condition est équivalente à la continuité du produit comme application bilinéaire. Si l'algèbre est unitaire, on peut exiger de la norme qu'elle vérifie aussi : : \mathcal N(1_A)=1, auquel cas la multiplication par une constante ne peut plus être utilisée pour « renormaliser » la norme.

Exemples

- L'application module est une norme d'algèbre sur \mathbb considéré comme \R-algèbre.
- La norme d'opérateur sur \ L_c(E) est une norme d'algèbre.
- La norme infini sur \mathbb^n induit la norme d'opérateur sur \ \mathbb \mathcal M_n(\mathbb C) qui s'écrit ::\forall (a_) \in \mathcal _n (\mathbb C), \ \|(a_)\| = \max_i\sum_j|a_|.

Notes

Voir aussi

- Vecteur
- Espace vectoriel normé
- Distance (mathématiques)
- Norme équivalente
- Produit scalaire
- Norme d'opérateur
- Norme ultramétrique
- Semi-norme Catégorie:Espace vectoriel normé Catégorie:Analyse fonctionnelle ca:Norma (matemàtiques) da:Norm (matematik) en:Norm (mathematics) es:Operador norma fi:Normi (matematiikka) he:נורמה (מתמטיקה) it:Norma (matematica) ja:ノルム ko:노름 nl:Norm (wiskunde) pl:Norma (matematyka) pt:Norma (matemática) ru:Норма (математика) sv:Norm (matematik) ur:امثولہ (ریاضی)
Sujets connexes
Analyse fonctionnelle (mathématiques)   Application lipschitzienne   Bertrand Russell   Bilinéaire   Borne (mathématiques)   Code correcteur   Convergence uniforme   Corps (mathématiques)   Corps valué   Différenciation   Distance (mathématiques)   Distance de Hamming   Déterminant (mathématiques)   Ensemble convexe   Espace Lp   Espace de Sobolev   Espace métrique   Espace séparé   Espace topologique   Espace vectoriel   Espace vectoriel normé   Espace vectoriel topologique   Fonction convexe   Géométrie   Géométrie dans l'espace   Géométrie euclidienne   Hermitien   Inégalité de Hölder   Inégalité de Minkowski   Inégalité triangulaire   Longueur   Module d'un nombre complexe   Nombre positif   Nombre réel   Norme d'opérateur   Norme ultramétrique   Norme équivalente   Optimisation (mathématiques)   Oxymore   Plan (mathématiques)   Polynôme   Produit scalaire   Quaternion   Raisonnement par récurrence   Règles du jeu d'échecs   Semi-norme   Support de fonction   Théorème de Pythagore   Valeur absolue   Vecteur  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^