Espace de Hilbert

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Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme ∥·∥ découle d'un produit scalaire ou hermitien ⟨·, ·⟩ par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.
Espace de Hilbert

Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme ∥·∥ découle d'un produit scalaire ou hermitien ⟨·, ·⟩ par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.

Théorème de M. Fréchet-J. von Neumann-P. Jordan

Un espace de Banach (respectivement espace vectoriel normé) est un espace de Hilbert (respectivement espace préhilbertien) si et seulement si sa norme vérifie l'égalité \| x + y\|^2 + \| x - y\|^2 = 2 ( \| x\|^2 + \| y\|^2), qui signifie que la somme des carrés de côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des diagonales (règle du parallélogramme). Dans le cas réel le produit scalaire est défini par \langle x, y \rangle = \frac\bigl(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2\bigr). Dans le cas complexe le produit hermitien est défini par \langle x, y \rangle = \langle x, y \rangle_1+ i \langle x, iy \rangle_1, où et i est l'unité imaginaire (le nombre comlexe identifié au couple de réels (0, 1)). Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base de Hilbert qui permet, non plus de décrire un vecteur par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent de l'algèbre linéaire et de la topologie. C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée la théorie de la formulation variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique. En mécanique quantique, l'état d'un système est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.

Exemples d'espaces de Hilbert

- ℝn muni du produit scalaire usuel.
- L^2( ), espace des fonctions de carré sommable avec la convention que deux fonctions égales presque partout sont égales (voir l'article sur l'espace L^p(\Omega)), muni de \langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\, \mathrm dx.
- l^2, l'espace des suites de nombres complexes telles que\sum_^\infty|u_n|^2
Sujets connexes
Algèbre linéaire   Analyse fonctionnelle (mathématiques)   Base (algèbre linéaire)   Base de Hilbert   David Hilbert   Dimension d'un espace vectoriel   Espace Lp   Espace complet   Espace de Banach   Espace euclidien   Espace préhilbertien   Espace séparable   Espace vectoriel normé   John von Neumann   Maurice René Fréchet   Mesures secondaires   Mécanique quantique   Nombre complexe   Pascual Jordan   Produit scalaire   Règle du parallélogramme   Théorème de Lax-Milgram   Théorème de Riesz   Théorème de Stampacchia   Théorème de projection sur un convexe fermé   Topologie   Unité imaginaire  
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