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En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.
Loi de composition externe
En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.
Définition
Suivant que S vient en premier ou en second lieu dans le produit cartésien qui sert d'ensemble de départ à la loi externe considérée, on distingue les lois externes à gauche et à droite. Ainsi :- une loi externe à gauche de S sur E est une application de S × E dans E ;
- une loi externe à droite de S sur E est une application de E × S dans E .
Principales propriétés
Propriétés simples
Soit un ensemble E muni d'une loi externe « . » à scalaires dans un ensemble S. Nous considérerons le cas d'une loi à gauche (resp. à droite).- la loi « . » est exo-unifère à gauche (resp. exo-unifère à droite), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de S qui, composé par cette loi avec tout élément de E , redonne l'élément de E :ou : ::- pour une relation à gauche : :: \exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E , \ \epsilon . x = x \, ::- et à droite : :: \exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E , \ x . \epsilon = x \,
- la loi « . » est absorbante à droite (resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E qui, composé par cette loi avec tout élément de S , se redonne lui-même :ou : ::- pour une relation à gauche : :: \exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S , \ \lambda . a = a \, ::- et à droite : :: \exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S , \ a . \lambda = a \,
- la loi « . » est exo-absorbante à gauche (resp. exo-absorbante à droite), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que l'élément de E soit l'unique résultat de la composition de l'élément de S avec tout élément de E :ou : ::- pour une relation à gauche : :: \exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E , \ \omega . x = a \, ::- et à droite : :: \exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E , \ x . \omega = a \,
- la loi « . » est régulière à gauche (resp. à droite ) ssi pour chaque élément de S , ses composés par cette loi avec les éléments de E sont tous distincts entre eux :ou : ::- pour une relation à gauche : :: \forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , \Rightarrow ( x = y ) \, ::- et à droite : :: \forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , \Rightarrow ( x = y ) \,
- la loi « . » est exo-régulière à droite (resp. à gauche ) ssi pour chaque élément de E, ses composés par cette loi avec les éléments de S sont tous distincts entre eux :ou : ::- pour une relation à gauche : :: \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \, ::- et à droite : :: \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,
- la loi « . » est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.
Propriétés relatives à une loi interne
- la loi « . » est exo-associative par rapport à une loi interne «- \, » de S si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « . » d'un autre scalaire et d'un élément de E est égal au composé de cet élément de E avec le composé des deux scalaires par la loi «
- \, » :ou : ::- pour une relation à gauche : :: \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , \ \lambda . ( \mu . x ) = ( \lambda
- \mu ) . x \, ::- et à droite : :: \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , \ ( x . \mu ) . \lambda = x . ( \mu
- \lambda ) \,
- la loi « . » est distributive ( à gauche ( resp. à droite )) par rapport à une loi interne « \bot \, » de E si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « \bot \, » de deux éléments de E est égal au composé par la loi « \bot \, » des deux composés par la loi « . » de ces éléments de E avec le scalaire précédent :ou : ::- pour une relation à gauche : :: \forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , \ \lambda . ( x \bot y ) = ( \lambda . x ) \bot ( \lambda . y ) \, ::- et à droite : :: \forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , \ ( x \bot y ) . \lambda = ( x . \lambda ) \bot ( y . \lambda ) \,
- la loi « . » est exo-distributive ( à droite ( resp. à gauche )) par rapport à une loi interne « \top \, » de S relativement à une autre loi interne « \bot \, » de E si tout composé par la loi « . » d'un élément de E avec le composé par la loi « \top \, » de deux scalaires est égal au composé par la loi « \bot \, » des deux composés par la loi « . » de l'élément de E avec chaque scalaire :ou : ::- pour une relation à gauche : :: \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , \ ( \lambda \top \mu ) . x = ( \lambda . x ) \bot ( \mu . x ) \, ::- et à droite : :: \forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , \ x . ( \lambda \top \mu ) = ( x . \lambda ) \bot ( x . \mu ) \,