Algèbre de Lie

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Les algèbres de Lie sont nommées d'après le mathématicien Sophus Lie.
Algèbre de Lie

Les algèbres de Lie sont nommées d'après le mathématicien Sophus Lie.

Définitions, exemples et premières propriétés

Définition

Soit \mathbb un corps. Une algèbre de Lie \mathfrak est un \mathbb-espace vectoriel muni d'une application (appelée crochet de Lie) de \mathfrak\times\mathfrak dans \mathfrak qui à x, y \in \mathfrak associe et qui vérifie les trois propriétés suivantes:
- est bilinéaire
- =- pour tout x, y de \mathfrak
- =0 pour tout x et y. Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne.
-On peut, à partir d'une algèbre associative (A,
-) , construire une algèbre de Lie, de la façon suivante : on pose =x
-y-y
-x. Il est facile de vérifier que l'on définit ainsi sur A une structure d'algèbre de Lie.
-:Inversement, toute algèbre de Lie \mathfrak est contenue dans une algèbre associative, appelée algèbre enveloppante, dans laquelle le crochet de Lie coïncide avec le crochet définit ci-dessus. L'algèbre enveloppante est beaucoup plus grande que l'algèbre de départ.
-Comme exemple concret de la situation ci-dessus, considérons End(\mathbb^n), l'espace des matrices n \times n à coefficients dans \mathbb. C'est une algèbre associative pour le produit matriciel usuel. On peut donc également lui donner une structure d'algèbre de Lie, avec le crochet =AB-BA. On note \mathfrak_n(\mathbb) cette algèbre, lorsque l'on considère sa structure d'algèbre de Lie.
-Bien évidemment, tout sous-espace vectoriel de \mathfrak_n(\mathbb) stable par le crochet est une algèbre de Lie. Ainsi, on peut vérifier que l'ensemble des matrices de trace nulle est une algèbre de Lie, que l'on note \mathfrak_n(\mathbb).
-:En fait, le théorème d'Ado montre que toute algèbre de Lie de dimension finie peut être vue comme une sous-algèbre de \mathfrak_n(\mathbb).
-Un autre exemple fondamental, plus géométrique, est le suivant. Soit M une variété différentielle. Alors l'espace vectoriel formé par les champs de vecteurs sur M possède une structure naturelle d'algèbre de Lie.
- En particulier, l'ensemble des vecteurs de Killing d'une variété forme une algèbre de Lie, qui correspond au groupe d'isométries de la variété considérée.

Morphismes et idéaux

Un morphisme d'algèbre de Lie est une application linéaire \phi qui respecte le crochet de Lie, c'est-à-dire telle que \phi=. Un idéal de \mathfrak est un sous-espace vectoriel \mathfrak tel que \forall g\in\mathfrak, \forall h\in \mathfrak \in\mathfrak. C'est en particulier une sous-algèbre de Lie. Si une algèbre de Lie n'admet pas d'idéal non trivial, elle est dite simple. Si \mathfrak est un idéal de \mathfrak, on peut former le quotient de \mathfrak par \mathfrak : c'est l'espace vectoriel quotient\mathfrak/\mathfrak, muni du crochet défini par = . La projection \mathfrak\to \mathfrak/\mathfrak est alors un morphisme d'algèbres de Lie. Une représentation d'une algèbre de Lie \mathfrak est un morphisme \phi\, :\, \mathfrak\to \mathfrak_n(\mathbb). Autrement dit, c'est une application linéaire telle que \phi=\phi(g)\phi(h)-\phi(h)\phi(g). Le morphisme ad:\mathfrak\to\mathfrak défini par ad(g)(h)= définit une représentation de \mathfrak, appelée représentation adjointe. L'identité de Jacobi exprime précisément le fait que ad respecte le crochet. Le noyau de cette représentation est le centre Z(\mathfrak)=\g\in\mathfrak\forall h\in\mathfrak =0\ de l'algèbre de Lie \mathfrak g.

Relation avec les groupes de Lie et les groupes algébriques

Les algèbres de Lie sont naturellement associées aux groupes de Lie. Si G est un groupe de Lie et 1 son élément neutre, alors l'espace tangent en 1 à G est une algèbre de Lie. La même construction est valable pour les groupes algébriques. On note en général en petites lettres gothiques l'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie, ou à un groupe algébrique. Ainsi, comme on l'a déjà vu, \mathfrak désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n et \mathfrak désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n de trace nulle. De la même façon, \mathfrak désigne l'ensemble des matrices carrées A de taille n antisymétriques, etc. Dans tous ces exemples, le crochet de Lie n'est rien d'autre que le commutateur : =AB-BA. Si \phi est un morphisme de groupes entre deux groupes de Lie G et H, et si l'on suppose \phi différentiable, alors sa différentielle en l'identité sera un morphisme entre les algèbres de Lie \mathfrak et \mathfrak de G et H. En particulier, à une représentation de G différentiable, on associe une représentation de \mathfrak. La classification des algèbres de Lie est utilisée de façon cruciale pour l'étude des groupes de Lie, des groupes algébriques et de leurs représentations.

Classification

Si \mathfrak et \mathfrak sont deux sous-algèbres de Lie d'une algèbre de Lie \mathfrak, notons le sous-espace vectoriel engendré par les éléments de la forme pour a\in\mathfrak et b\in\mathfrak.

Algèbres de Lie nilpotentes

Une algèbre de Lie est dite nilpotente lorsqu'un suite de commutateurs , g_3], \dots, g_n] finit par être nulle, lorsque n devient suffisamment grand. Plus précisément, définissons C_i par C_0=\mathfrak et C_=. S'il existe un i tel que C_i=0, on dit que \mathfrak est nilpotente. Cette notion est à mettre en parallèle avec celle de groupe nilpotent. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie abélienne est nilpotente. L'algèbre \mathfrak ndes matrices triangulaires strictes, c'est-à-dire de la forme \left(\begin 0 & \star & \cdots & \star \\ \vdots & \ddots & \star& \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & \star \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \end\right) fournit un exemple d'algèbre de Lie nilpotente. Le théorème d'Engel affirme que toute sous-algèbre nilpotente de \mathfrak_n(\mathbb K) est en fait simultanément trigonalisable et donc conjuguée à une sous-algèbre de \mathfrak n.

Algèbres de Lie résolubles

Définissons par récurrence D_i par D_0=\mathfrak et D_= S'il existe un i tel que D_i=0, on dit que \mathfrak est résoluble. Comme dans le cas des algèbres nilpotentes, cette notion correspond à celle de groupe résoluble. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie nilpotente est résoluble. Un exemple d'algèbre de Lie résoluble est donné par l'algèbre \mathfrak b des matrices triangulaires supérieures dans \mathfrak_n(\mathbb K). Le théorème de Lie montre que, si \mathbb K est algébriquement clos et de caractéristique nulle, alors toute sous-algèbre de Lie de \mathfrak_n(\mathbb K) est conjuguée à une sous-algèbre de \mathfrak b

Algèbres de Lie semi-simples

On dit qu'une algèbre de Lie \mathfrak est semi-simple lorsqu'elle ne contient pas d'idéal résoluble non trivial. Lorsque \mathbb K est de caractéristique nulle, et que \mathfrak est de dimension finie, ceci est équivalent à la non-dégénerescence de la forme de Killing K(x, y) définie par K(x, y)=tr(ad(x)ad(y)), où tr désigne la trace. On peut montrer que, sous les mêmes hypothèses, toute algèbre de Lie semi-simple est en fait une somme directe d'algèbres de Lie simples. Les algèbres de Lie simples de dimension finie sur le corps \mathbb C des nombres complexes sont classifiées par les diagrammes de Dynkin. Il y a donc 4 familles d'algèbres de Lie simples (ou 3 si on considère B_n et D_n comme une même famille) et 5 algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant chacune à un diagramme de Dynkin différent.
-À un diagramme de Dynkin de type A_n (n\geq 1) correspond l'algèbre de Lie \mathfrak_(\mathbb).
-À un diagramme de Dynkin de type B_n (n\geq 2) correspond l'algèbre de Lie \mathfrak_(\mathbb).
-À un diagramme de Dynkin de type C_n (n\geq 3) correspond l'algèbre de Lie \mathfrak_(\mathbb).
-À un diagramme de Dynkin de type D_n (n\geq 4) correspond l'algèbre de Lie \mathfrak_(\mathbb).
-Les algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant aux diagrammes de Dynkin restants (de type E6, E7, E8, F4 et G2) n'ont pas d'interprétation aussi simple.

Dimension infinie

Il n'y a pas de classification générale des algèbres de Lie de dimension infinie mais plusieurs classes de telles algèbres ont été étudiées.
- Une algèbre de Kac-Moody est une algèbre de Lie définie abstraitement en terme de générateurs et relations codés par une matrice de Cartan généralisée non nécessairement définie positive. Elles peuvent donc être de dimension infinie. Leur classification générale est encore hors de portée mais plusieurs sous-types sont connus
- Une algèbre de Kac-Moody affine possède la propriété que tous les sous-diagrammes de Dynkin du diagramme de Dynkin associé à sa matrice de Cartan généralisée correspondent à des sous-algèbres de Lie de dimension finie. Leur matrice de Cartant généralisée peut alors posséder une direction nulle. Les algèbres de Kac-Moody affines ont été classifiées par Victor G. Kac. Elles sont très utilisées en physique théorique dans l'étude des théories conformes des champs et en particulier dans l'étude des modèles WZW.
- Une algèbre de Kac-Moody hyperbolique possède un diagramme de Dynkin connexe avec la propriété que si on lui retire une racine, on obtient une algèbre de Lie semi-simple de dimension finie ou bien une algèbre de Kac-Moody affine. Elles ont été également classifiées et sont de rang 10 au maximum. Leur matrice de Cartan généralisée est non dégénérée et de signature Lorentzienne (c’est-à-dire avec exactement une direction négative).
- algèbre de Kac-Moody généralisée ou algèbre de Borcherds: c'est un type d'algèbre de Lie généralisant le concept d'algèbre de Kac-Moody dont la matrice de Cartan généralisée peut posséder des racines simples nommées imaginaires pour lesquelles l'élément diagonal de la matrice de Cartan généralisée est négatif. Elles ont été introduite par Richard Ewen Borcherds dans le cadre de l'étude de la conjecture moonshine.

Généralisation

Il existe différentes sortes de généralisations des algèbre de Lie, on citera juste les superalgèbres de Lie.

Références

-Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie
-Dixmier, Jacques Algèbres enveloppantes Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996. ISBN 2-87647-014-4
-Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
-Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4

Voir aussi

- Groupe de Lie Catégorie:Algèbre de Lie de:Lie-Algebra en:Lie algebra es:Álgebra de Lie he:אלגברת לי hu:Lie-algebra it:Algebra di Lie ja:リー環 nl:Lie-algebra pl:Algebra Liego pt:Álgebra de Lie ru:Алгебра Ли sv:Liealgebra tr:Lie işlemcisi zh:李代數
Sujets connexes
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