Mesure complète

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Un espace mesuré (E, T, µ) est dit complet si toute partie µ-négligable est élément de T. Nous rappelons ici que A µ-négligeable veut dire A est contenu dans Bµ(B)=0 On dit aussi qu'une mesure est complete si et seulement si tout sous ensemble d'un ensemble mesurable de mesure nulle est mesurable et de mesure nulle . Théorème. Tout espace mesuré (E, T, µ) peut être complété. Preuve : On pose N(µ)=. On verifie f
Mesure complète

Un espace mesuré (E, T, µ) est dit complet si toute partie µ-négligable est élément de T. Nous rappelons ici que A µ-négligeable veut dire A est contenu dans Bµ(B)=0 On dit aussi qu'une mesure est complete si et seulement si tout sous ensemble d'un ensemble mesurable de mesure nulle est mesurable et de mesure nulle . Théorème. Tout espace mesuré (E, T, µ) peut être complété. Preuve : On pose N(µ)=. On verifie facilement que N(µ) est un sigma-anneau. On considere la tribu T
-
engendrée par T et N(µ). T
-
n'est que la classe des parties de E de la forme A=BU NB est de T et N de 'N(µ)'. Sur T
-
on définit la fonction d'ensembles µ
-
telle que µ
-(A)=µ(B)
. On montre que µ
-(A)
ne dépend pas du représentant choisi de A et que µ
-
est bien une mesure qui prolonge µ à T
-
Nous venons de construire un autre espace mesuré (E, T
-, µ
-)
qui est par définition complet. Catégorie:Probabilités
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