Espace localement compact

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En topologie, un espace localement compact est un espace qui, à défaut d'être compact, admet des voisinages compacts pour tous ses points. On peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandroff.
Espace localement compact

En topologie, un espace localement compact est un espace qui, à défaut d'être compact, admet des voisinages compacts pour tous ses points. On peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandroff.

Motivations

La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante. En particulier, le fait qu'un espace métrique doit être borné pour être compact fait que les résultats concernant les espaces compacts ne sont presque jamais applicables aux espaces métriques rencontrés, qui sont très rarement bornés. Cependant on peut appliquer ces résultats à certains espaces métriques (et notamment les espaces vectoriels normés) non bornés à condition que l'objet étudié respecte certaines propriétés supplémentaires, qui permettent d'y appliquer les outils développés pour les espaces compacts. Par exemple, toute suite de points d'un compact admet une valeur d'adhérence ; le théorème de Bolzano-Weierstrass dit qu'une suite de points de \R \, \! (ou plus généralement de \R^n \, \!) qui est bornée admet une valeur d'adhérence. Or ni \R \, \! ni \R^n \, \! ne sont compacts, mais en ajoutant « bornée » on peut conclure quelque chose, car \R \, \! et \R^n \, \! sont localement compacts. Il n'est pas vrai en général qu'une suite bornée d'un espace métrique a une valeur d'adhérence. Il suffit de regarder les suites bornées à valeurs dans \mathbb. Autre exemple, peut-être plus parlant : un théorème connu dit que si une fonction est une bijection continue d'un espace compact vers un autre, alors sa réciproque est aussi continue (et donc c'est un homéomorphisme). C'est faux en général pour un espace topologique mais dans le cas de \R \, \! on a le théorème de la bijection : « si une fonction est une bijection continue d'un intervalle de \R \, \! vers un autre intervalle, alors sa réciproque est aussi continue », que l'intervalle soit compact ou non. Le fait que ces deux résultats typiques de la compacité s'adaptent partiellement dans le cas d'espaces non compacts tient justement à la notion de compacité locale.

Espaces localement compacts

Définitions

Un espace topologique X \, \! est dit localement compact si et seulement s’il est séparé et tout point de X \, \! admet un voisinage compact. Autrement dit, en notant \mathcal \, \! l'ensemble des ouverts de X \, \! : \forall x \in X, \ \exists K \subset X, \exists U \in \mathcal \ t.q. \ \left\ x \right\ \subset U \subset K \, \! avec K \, \! compact. Cette définition implique immédiatement la caractérisation suivante (parfois prise comme définition) : un espace topologique X \, \! est localement compact si et seulement si tout point de X \, \! admet une base de voisinages compacts. On note que dans ces définitions le mot « compact » peut être remplacé par exemple par « connexe » ou « connexe par arcs » pour obtenir d'autres notions ; c'est le procédé de définition des espaces « localement truc ». Voir Espace localement connexe, Espace localement connexe par arcs.

Propriétés

La première propriété des espaces localement compacts, la plus évidente, est que si un espace X \, \! est compact alors il est localement compact. On verra avec les exemples que la réciproque est fausse ; la compacité locale est donc une notion strictement plus faible que la compacité (c'est-à-dire moins restrictive). Comme la plupart des propriétés topologiques, la compacité locale est conservée par homéomorphisme : si f \ : \ X_1 \rightarrow X_2 \, \! est un homéomorphisme entre deux espaces topologiques et si X_1 \, \! est localement compact, alors X_2 \, \! l'est aussi. Un sous-espace Y \, \! d'un espace localement compact X \, \! est lui-même localement compact si et seulement s’il peut s'écrire comme la différence de deux fermés de X \, \! : Y = F_1 \backslash F_2 \, \!. En particulier tous les ouverts et les fermés d'un espace localement compact X\, \! sont localement compacts :
- Si F \, \! est fermé, on écrit F = F \backslash \varnothing \, \!
- Si U\, \! est un ouvert, on écrit U = X \backslash \left( X \backslash U \right) \, \!, où X \, \! et X \backslash U\, \! sont fermés. Un espace localement compact est un espace de Baire, c'est-à-dire que la conclusion du théorème de Baire s'y applique : une union dénombrable de parties nulle part denses (c'est-à-dire dont l'intérieur de l'adhérence est vide) est d'intérieur vide.

Exemples

L'ensemble des nombres réels \R \, \!, l'ensemble des nombres complexes \mathbb \, \!, ou les espaces produit \R^n \, \! et \mathbb^n \, \! sont les premiers exemples d'espace localement compacts ; d'après un théorème cité plus haut tous leurs ouverts ou leurs fermés le sont aussi. En particulier l'intervalle ]0, 1[ \, \! ou le disque ouvert D = \left\ \ z \in \mathbb \ | \ |z|0 \right\ \, \! c'est-à-dire les points du plan d'abscisse strictement positive plus l'origine. Dans ce cas c'est justement l'origine qui pose problème, car elle n'a aucun voisinage compact.

Voir aussi

- Espace compact
- Espace séparé
- Espace localement connexe
- Espace localement connexe par arcs Catégorie:Compacité de:Lokal kompakter Raum en:Locally compact space es:Compacidad local he:קומפקטיות מקומית it:Spazio localmente compatto ja:局所コンパクト pl:Przestrzeń lokalnie zwarta sv:Lokalt kompakt
Sujets connexes
Adhérence (mathématiques)   Analyse fonctionnelle (mathématiques)   Bijection   Compacité (mathématiques)   Continuité   Cube de Hilbert   Dimension   Ensemble de Cantor   Espace localement connexe   Espace localement connexe par arcs   Espace métrique   Espace séparé   Espace topologique   Espace vectoriel normé   Homéomorphisme   Intervalle   Intérieur   Nombre complexe   Nombre rationnel   Nombre réel   Plan complexe   Suite (mathématiques)   Théorème de Baire   Théorème de Bolzano-Weierstrass   Théorème de la bijection   Topologie   Valeur d'adhérence  
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