Diviseur de zéro

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Soit (A, +, ×) un anneau ; les éléments a et b de A sont des diviseurs de zéro si et seulement si :
-a ≠ 0 et b ≠ 0
-a × b = 0 Si l'anneau n'est pas commutatif, on précise que a est diviseur de zéro à gauche et b diviseur de zéro à droite. Un même élément peut être à
Diviseur de zéro

Soit (A, +, ×) un anneau ; les éléments a et b de A sont des diviseurs de zéro si et seulement si :
-a ≠ 0 et b ≠ 0
-a × b = 0 Si l'anneau n'est pas commutatif, on précise que a est diviseur de zéro à gauche et b diviseur de zéro à droite. Un même élément peut être à la fois diviseur de zéro à droite et à gauche. Un diviseur de zéro n'admet pas d'inverse. L'existence de diviseurs de zéro dans un anneau l'empêche notamment d'être un corps. Les éléments qui ne sont pas diviseurs de zéro sont dits réguliers.

Exemples

- L'anneau \mathbb Z\; des entiers relatifs (ou le corps \mathbb R\; des réels) ne contient aucun diviseur non nul de zéro, mais dans l’anneau \mathbb Z^2\; (où addition et multiplication s'appliquent aux composantes), ou dans le corps (ou le corps \mathbb R^2\; des points du plan à coordonnées réelles) on a (1, 0)\cdot(0, 1)=(0, 0)\;, égalité qui révèle que (1, 0)\; et (0, 1)\; sont des diviseurs non nuls de zéro. : Plus généralement, dans un anneau produit de deux anneaux, il y a toujours des diviseurs de zéro puisque l’on a encore (0, 1)\cdot(1, 0)=(0, 0)\;.
- Dans l'anneau \mathbb Z/6\mathbb Z\;, la classe de 4 est un diviseur de zéro, car 3×4 est congru à 0 modulo 6. : Plus généralement, dans l'anneau \mathbb Z/n\mathbb Z\;, les diviseurs de 0 sont exactement les classes modulo n des entiers relatifs qui ne sont pas premiers avec n. Cette affirmation est une simple reformulation de l’identité de Bézout.
- L’anneau \mathcal M_2(\mathbb R)\;des matrices 2×2 réelles contient aussi des diviseurs de zéro, dont la matrice \begin1&1\\ 2&2\end, puisque nous avons \begin1&1\\ 2&2\end\cdot\begin1&1\\ -1&-1\end=\begin-2&1\\ -2&1\end\cdot\begin1&1\\ 2&2\end=\begin0&0\\ 0&0\end\; : Plus généralement les diviseurs de 0 à droite dans M_n(R) sont les matrices non surjectives et les diviseurs à gauche les matrices non injectives.
- Les algèbres de fonctions offrent de nombreux exemples de diviseurs de 0. En effet, si X est un ensemble, et \mathbb R^X\; l'algèbre des fonctions réelles sur X, toute fonction non nulle mais admettant un point d'annulation est un diviseur de 0. : Plus généralement, si A est une algèbre, désignons par AX l'algèbre des fonctions X\rightarrow A\;. Les diviseurs de 0 de AX sont exactement les fonctions non nulles admettant 0 ou un diviseur de 0 dans leur image.

Curiosités non commutatives

Dans le cas d'un anneau non commutatif, un diviseur de zéro à gauche ne peut pas être inversible à gauche, mais il peut l'être à droite. De même, un diviseur de zéro à droite ne peut pas être inversible à droite, mais il peut l’être à gauche. De tels éléments existent en particulier dans l’anneau des endomorphismes sur l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels (ou à coefficients dans un corps algébrique) : : Sur cet espace vectoriel, on peut définir une opération de composition de deux polynomes, dont le résultat est un autre polynome. L'application u qui à un polynome p de l'espace vectoriel associe le polynome u(p) est un endomorphisme membre de l’anneau noté simplement u. Parmi ces endomorphismes, :: l’identité est simplement notée 1, et associe à tout polynome p de l’espace vectoriel lui-même ; :: l’endomorphisme qui associe le polynome nul à tout polynome p est noté 0 ; : Avec ces notations, on peut sélectionner trois endomorphismes particulier d, d-1 et k0 définis chacun sur l’espace vectoriel des polynomes comme : :: d : p --> p’ (l’endomorphisme d associe à un polynome son polynome dérivé) ; :: d-1 : p --> primitive de p s’annulant en 0 (l’endomorphisme d-1 associe à un polynome p un autre polynome dont le dérivé est p) ; :: k0 : p --> p(0) (l’endomorphisme k associe à un polynome p la composition du polynome p et du polynome nul, c’est à dire un polynome à valeur réelle constante). : On peut alors définir un anneau sur ces endomorphismes en utilisant (comme deuxième loi de composition de l’anneau notée ici ·, et comme première loi par exemple la somme ou le produit des polynomes) l’opération de la composition des endomorphismes (cette opération de composition n’est pas commutative). Cet anneau est aussi un espace vectoriel de dimension infinie et possède comme base (1, k0, d, d-1, d·d = d2, d-1·d-1 = d-2, ..., dn, d-n, ...) avec n entier positif. Et on a alors effectivement : :: d · d-1 = 1, (la dérivée d'une primitive d’un polynome est ce polynome, donc dans l’anneau des endomorphismes, la dérivée d'une primitive est l'endomorphisme identité 1) ; :: d · k0 = 0 (la dérivée d'un polynome à valeur constante est nulle, donc la composition de l'endomorphisme dérivée et de l'endomorphisme constant est l’endomorphisme nul) et :: k0 · d-1 = 0 (en effet (k0 · d-1)(p) = k0(d-1(p)) = ("primitive nulle en 0"(p))(0) = 0 = 0, pour tout réel x). : Et donc d et k0 sont des diviseurs de 0 à gauche, d-1 et k0 sont des diviseurs de 0 à droite, mais :: d est inversible à droite (son inverse à droite est d-1) mais pas à gauche, :: d-1 est inversible à gauche (son inverse à gauche est d) mais pas à droite, et pourtant :: ni d, ni d-1 ne sont nuls, et aussi :: k0 n’est pas nul et pourtant k0 n’est inversible ni à droite ni à gauche. : Et de même, il existe une infinité d’élements non nuls dans l’anneau qui sont inversibles seulement à droite ou seulement à gauche : :: d2, d3, etc. sont inversibles à droite (leurs inverses respectifs à droite sont d-2, d-3, etc.) mais pas à gauche, :: d-2, d-3, etc. sont inversibles à gauche (leurs inverses respectifs à gauche sont d2, d3, etc.) mais pas à droite. Catégorie:Théorie des anneaux Catégorie:Zéro de:Nullteiler en:Zero divisor es:Divisor de cero et:Nullitegur he:מחלק אפס hu:Zérusosztó ko:영인자 pt:Divisor de zero zh:零因子
Sujets connexes
Anneau (mathématiques)   Arithmétique modulaire   Classe (mathématiques)   Corps (mathématiques)   Endomorphisme   Entier relatif   Espace vectoriel   Identité de Bézout   Matrice (mathématiques)   Polynôme  
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