Groupe quotient

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Dans l'étude des groupes, le quotient d'un groupe est une opération classique permettant la construction de nouveaux groupes à partir d'anciens. A partir d'un groupe G, et d'un sous-groupe H, on peut définir une loi de groupe sur l'ensemble G/H des classes de G suivant H, à condition que H soit stable par les automorphismes intérieurs de G , c'est-à-dire que les classes latérales droites soient égales aux classes
Groupe quotient

Dans l'étude des groupes, le quotient d'un groupe est une opération classique permettant la construction de nouveaux groupes à partir d'anciens. A partir d'un groupe G, et d'un sous-groupe H, on peut définir une loi de groupe sur l'ensemble G/H des classes de G suivant H, à condition que H soit stable par les automorphismes intérieurs de G , c'est-à-dire que les classes latérales droites soient égales aux classes latérales gauches (gH = Hg). Un tel sous-groupe est appelé sous-groupe normal ou sous-groupe distingué.

Partition d'un groupe en classes modulo un sous-groupe

Étant donné un élément g \in G, nous définissons la classe à gauche g H = \ g h\ |\ h \in H \. Comme g est inversible, l'ensemble gH a le même cardinal que H. De plus, tout élément de G appartient à exactement une seule classe à gauche de H ; l'ensemble des classes à gauche sont des classes d'équivalence correspondant aux classes d'équivalence de la relation d'équivalence définie par g1 ~ g2 si et seulement si g_^ g_2 \in H. Le nombre de classes à gauche de H est appelé indice de H dans G et est noté . Dans le cas d'un groupe fini, le théorème de Lagrange sur la cardinalité des sous-groupes, et la formule des classes permettent de voir que cet indice est fini et est un diviseur de l'ordre du groupe G. Les classes à droite sont définies de manière analogue: Hg = \ h g\ |\ h \in H \. Elles sont aussi les classes d'équivalence pour une relation d'équivalence convenable et leur cardinal est égal à .

Définition

Si pour tout g \in G, gH = Hg, alors H est appelé un sous-groupe distingué ou normal ou invariant. Dans ce cas, nous définissons une multiplication sur les classes par :(g_1 H) \cdot (g_2 H) = (g_1 g_2) \cdot H Cela donne à l'ensemble des classes une structure de groupe ; ce groupe est appelé groupe quotient (ou parfois groupe des facteurs) noté G/H. L'application f : G \rightarrow G/H, g \mapsto gH est alors un homomorphisme de groupe. L'image directe f(H) n'est constituée que de l'élément neutre de G/H, à savoir la classe eH = H. L'application f est appelé morphisme canonique.

Exemples

- Considérons l'ensemble des entiers naturels \mathbb et le sous-groupe 2\mathbb constitué des entiers pairs. Alors le groupe quotient \mathbb/2\mathbb est constitué de deux éléments, représentant la classe des nombres pairs et la classe des nombres impairs.
- L'ensemble \mathbb des nombres réels, considéré comme groupe additif, et son sous-groupe 2\pi\mathbb permettent de définir un groupe quotient utilisé pour la mesure des angles orientés.

Propriétés

- G/G est isomorphe au groupe trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.
- Si H est distingué, l'application G \rightarrow G/H est un morphisme surjectif, appelé projection canonique, de noyau H.
- Plus généralement, si G_1\rightarrow^\phi G_2 est un morphisme de groupes, il existe une suite exacte : :G_1\to G_2\to G_2/Im\phi\to 1
- Si G est abélien, cyclique, nilpotent ou résoluble, il en sera de même pour G/H.

Factorisation des morphismes

On peut caractériser les groupes quotients par la propriété fondamentale suivante : : Soit f : G \rightarrow G' un morphisme de groupe. Soit H le noyau de f. Alors H est distingué et f se « factorise » en un morphisme injectif \bar f : G/H \to G' tel que \bar f\circ p = f, où p est la projection de G sur G/H.

Voir aussi

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Sujets connexes
Action de groupe (mathématiques)   Angle   Automorphisme intérieur   Classe suivant un sous-groupe   Groupe (mathématiques)   Groupe abélien   Groupe cyclique   Groupe fini   Groupe nilpotent   Groupe quotient   Groupe résoluble   Noyau (algèbre)   Relation d'équivalence  
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