Anneau noethérien

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En mathématique, la notion d'anneau noethérien, nommé ainsi en l'honneur d'Emmy Noether, joue un rôle important, que ce soit en théorie des anneaux ou en géométrie algébrique. Cette notion permet de plus de développer de très nombreuses propriétés en théorie des modules.
Anneau noethérien

En mathématique, la notion d'anneau noethérien, nommé ainsi en l'honneur d'Emmy Noether, joue un rôle important, que ce soit en théorie des anneaux ou en géométrie algébrique. Cette notion permet de plus de développer de très nombreuses propriétés en théorie des modules.

Définition

Un anneau A est noethérien s'il vérifie l'une des propriétés suivantes, qui sont équivalentes :
-Tout idéal de A est engendré par un nombre fini d'éléments.
-A vérifie la condition de chaînes croissantes sur ses idéaux, c’est-à-dire s'il n'existe pas de suite infinie d'idéaux de A strictement croissante au sens de l'inclusion.
-Tout ensemble non vide d'idéaux de A possède un élément maximal pour l'inclusion.

Exemples

-\mathbb Z est noethérien.
-Tout corps est noethérien. Ainsi, l'ensemble des rationnels, des réels et des complexes forment chacun un anneau noethérien.
-L'anneau des polynômes d'un nombre fini d'indéterminées à coefficients dans un corps \mathbb K ou dans \mathbb Z est noethérien. Quant aux anneaux non noethériens, en voici un exemple :
-L'anneau des polynômes d'un nombre infini d'indéterminées.

Propriétés

-Tout anneau principal est noethérien.
-Tout anneau quotient d'un anneau noethérien est noethérien.
-Si A est noethérien, alors A est aussi noethérien (Théorème de la base de Hilbert).
-Tout localisé d'un anneau noethérien est noethérien.

Voir aussi

-Géométrie algébrique
-Théorie des modules
-Théorème de Krull
-Module noethérien
-Topologie de Zariski Catégorie:anneau de:Noethersch en:Noetherian ring es:Anillo noetheriano it:Anello noetheriano ja:ネーター環 ko:뇌터 환 pl:Pierścień noetherowski pt:Anel noetheriano zh:諾特環
Sujets connexes
Anneau (mathématiques)   Corps (mathématiques)   Emmy Noether   Géométrie algébrique   Idéal   Inclusion   Localisation (mathématique)   Mathématiques   Nombre rationnel   Polynôme   Théorie des anneaux   Théorème de Krull   Théorème de la base de Hilbert   Topologie de Zariski  
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