Coordonnées polaires

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Un cercle découpé en angles mesurés en degré Les coordonnées polaires sont en mathématiques un système de coordonnées à deux dimensions dans lequel chaque point du plan est entièrement déterminé par un angle et une distance. Ce système est particulièrement utile dans les situations où la relation entre deux points est plus facile à exprimer en termes d’angle et de distance, voir par exemple le pendule. Dans ce cas, le système des coordonnées cartésiennes, pl
Coordonnées polaires

Un cercle découpé en angles mesurés en degré Les coordonnées polaires sont en mathématiques un système de coordonnées à deux dimensions dans lequel chaque point du plan est entièrement déterminé par un angle et une distance. Ce système est particulièrement utile dans les situations où la relation entre deux points est plus facile à exprimer en termes d’angle et de distance, voir par exemple le pendule. Dans ce cas, le système des coordonnées cartésiennes, plus familier, impliquerait d’utiliser des formules trigonométriques pour exprimer une telle relation. Comme il s’agit d’un système bidimensionnel, chaque point est déterminé par les coordonnées polaires, qui sont la coordonnée radiale et la coordonnée angulaire. La coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelée rayon) exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes). La coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut, et souvent notée t ou θ) exprime la mesure, dans le sens trigonométrique, de l’angle entre le point et la demi-droite d’angle 0°, appelé axe polaire (équivalent à l’axe des abscisses en coordonnées cartésiennes).

Histoire

Le concept d’angle et de rayon était déjà utilisé lors du premier millénaire après J.C. L’astronome Hipparque créa une table trigonométrique qui donnait la longueur de la 'corde pour chaque angle, et il utilisait les coordonnées polaires pour établir les positions des étoiles. Dans Des spirales, Archimède étudia la spirale d'Archimède, une fonction mathématiques dont le rayon dépend de l’angle. Cependant les grecs ne l’étendront pas à un système de coordonnées complet. Il existe plusieurs versions de l’introduction des coordonnées polaires comme système de coordonnées formel. Grégoire de Saint-Vincent et Bonaventura Cavalieri ont indépendamment introduit ce concept dans le milieu du dix-septième siècle. Saint-Vincent a écrit sur ce thème en 1625 et a publié son travail en 1647, pendant que Cavalieri publia ses écrits en 1635, une version corrigée vit le jour en 1653. Cavalieri a d’abord utilisé les coordonnées polaires pour résoudre un problème relatif à l’aire sous une spirale d'Archimède. Blaise Pascal usait largement des coordonnées polaires pour calculer la longueur de paraboles. Dans Méthode des Fluxions (écrit en 1671, publié en 1736) Sir Isaac Newton étudia les transformations entre les coordonnées polaires, qu'il appelait "Seventh Manner; For Spirals", et neuf autres systèmes de coordonnées. Dans le journal Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli utilisa un système avec un point et une droite, appelés respectivement le pôle et l'axe polaire. Les coordonnées étaient déterminées par leur distance au pôle et leur angle par rapport à l'axe polaire. Le travail de Bernouilli utilisa même ce système pour déterminer le rayon de courbure de courbes exprimées dans ce système. Le terme actuel de coordonnées polaires a été attribué à Gregorio Fontana et a été utilisé par les écrivains italiens du . Le terme apparait en anglais pour la première fois dans la traduction de 1816 effectuée par George Peacock du Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de Sylvestre-François Lacroix. , Alexis Clairaut fut le premier à penser à étendre les coordonnées polaires en trois dimensions, et Leonhard Euler a été le premier à vraiment les développer.

Placer des points en coordonnées polaires

Les points (3;60°) et (4;210°) en coordonnées polaires Chaque point du plan est déterminé par les coordonnées polaires, qui sont la coordonnée radiale et la coordonnée angulaire. La coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelé rayon) exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes). La coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut, et souvent notée t ou θ) exprime la mesure, dans le sens trigonométrique, de l’angle entre le point et la demi-droite d’angle 0°, appelé axe polaire (équivalent à l’axe des abscisses en coordonnées cartésiennes). Par exemple, le point de coordonnées polaires (3;60°) sera placé à trois unités de distance du pôle sur la demi-droite d’angle 60°. Le point (-3 ;60°) sera au même endroit car une distance négative sera considérée comme une mesure positive sur la demi-droite opposée par rapport au pôle (tournée de 180° par rapport à la demi-droite d’origine). L’un des aspects importants du système de coordonnées polaires, qui n’est pas présent dans le système cartésien, est qu’il existe une infinité de coordonnées polaires désignant un même et unique point. En effet, on peut rajouter des mesures d’un tour complet sans affecter l’emplacement du point. Par exemple, le point (3;420°) est confondu avec le point (3;60°). En général, le point (r;θ) peut être représenté par (r;θ ± n×360°) ou (−r;θ ± (2n + 1)180°), où n est un entier quelconque. Les coordonnées arbitraires (0;θ) sont conventionnellement utilisées pour représenter le pôle, sans se soucier de l’angle θ, un point de rayon r=0 sera toujours sur le pôle. Pour obtenir un unique représentant du point, on limite le rayon aux réels positifs et l’angle entre -180° et 180° (ou 0° et 360°), ou si l’on utilise les radians entre –π et π (ou 0 et 2π). On dit que l’angle est donné modulo 360° ou 2π. L’angle en notation polaire est généralement donné en degrés ou radians, en utilisant la convention 2π=360°. Le choix dépend du contexte. En navigation, les degrés sont de rigueur, alors que certaines applications physiques (comme l’étude des rotations en mécaniques) et la plupart des mathématiques utilisent les radians.

Conversion entre système polaire et cartésien

Un schéma illustrant les formules de conversions Les deux coordonnées polaires r et θ peuvent être converties en coordonnées cartésiennes x et y en utilisant les fonctions trigonométriques sinus et cosinus : :x = r \cos \theta :y = r \sin \theta Alors que deux coordonnées cartésiennes x et y peuvent être converties en coordonnée polaire r par : :r = \sqrt \, (par une simple application du théorème de Pythagore). Pour déterminer l’angle θ, nous devons distinguer deux cas :
- Pour r=0, l’angle peut prendre n’importe quelle valeur réelle.
- Pour r≠0, pour obtenir une unique valeur de θ, on se restreint à l’intervalle -π;π]). Pour obtenir θ dans l’intervalle -π; π], on utilise les formules : :\theta = \begin \arctan(\frac) & \mbox x > 0\\ \arctan(\frac) + \pi & \mbox x < 0 \mbox y \ge 0\\ \arctan(\frac) - \pi & \mbox x < 0 \mbox y < 0\\ \frac\pi & \mbox x = 0 \mbox y > 0\\ -\frac\pi & \mbox x = 0 \mbox y < 0 \end

Équation polaire

Une équation qui définit une courbe algébrique exprimée en coordonnées polaires est connue sous le nom d’équation polaire. Dans la plupart des cas, une telle équation peut être spécifié en définissant r comme une fonction de θ. La courbe résultante est alors formée des points du type (r(θ);θ) et peut être vu comme le graphe de la fonction polaire r. Différentes formes de symétries peuvent être déduite de l’équation d’une fonction polaire. Si r(-θ)=r(θ) alors la courbe est symétrique par rapport à l’axe horizontal (les demi-droites 0° et 180°). Si r(π-θ)=r(θ), la courbe sera symétrique par rapport à l’axe vertical (90° et 270°). À cause du caractère circulaire des coordonnées polaires, beaucoup de courbes peuvent être décrite par une équation polaire simple, alors que leur équation cartésienne serait beaucoup plus compliquée. Quelques courbes polaires les plus connues sont : la spirale d'Archimède, le lemniscate de Bernoulli, le limaçon de Pascal ou encore la cardioïde.

Cercle

Un cercle d'équation r(θ)=1 L'équation général d'une cercle de centre (r0;φ) est: ::r^2(\theta) - 2 r(\theta) r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2 Dans de nombreux cas, cette équation est simplifiée. Par exemple, pour un cercle centré sur le pôle et de rayon a: :r(\theta)=a

Droite

Une droite radiale (qui passe par le pôle) est représentée par l'équation: :\theta=\varphi où φ est l'angle de la droite. On a φ=arctan mm est la pente de la droite en coordonnées cartésiennes. Une droite non radiale qui coupe perpendiculairement au point (r0;φ) la droite radiale θ = φ a pour équation: :r(\theta) = \sec(\theta-\varphi)

Rose polaire

Une rose polaire d'équation r(θ) = 2 sin 4θ Une rose polaire est une courbe très connue qui ressemble à des pétales de fleurs, et qui peut être exprimée par une simple équation polaire: :r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0) Pour n'importe quelle constante réelle φ0. Si k est un entier, cette équation produit une fleur avec 2k pétale(s) si k est paire, et k pétale(s ) si k est impaire. Si k est un nombre rationnel, l'équation produit une courbe en forme de fleur dont les pétales se chevauchent. Notons que ces équations ne peuvent fournir de courbe en forme de fleur à 2, 6, 10, 14, ... pétales. La constante réelle a détermine la longueur d'un pétale.

Spirale d'Archimède

Un bras d'une spirale d'Archimède d'équation r(θ)=θ pour 0
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