Rang (mathématiques)

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En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. On peut étendre la notion de rang aux matrices et aux endomorphismes.
Rang (mathématiques)

En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. On peut étendre la notion de rang aux matrices et aux endomorphismes.

Rang d'une matrice

Le rang d'une matrice A, noté rg A, est
-le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants,
-la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes (ou colonnes) de A,
-le plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de A,
-la taille du plus grand mineur non nul de A,
-la plus petite des tailles des matrices B et C dont le produit est égal à A, tous ces nombres étant égaux. On peut déterminer le rang en procédant à une élimination via la méthode de Gauss-Jordan et en examinant la forme échelonnée obtenue de cette manière.

Exemple

Soit la matrice suivante : : A = \begin 2 & 4 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 \\ \end On voit que la 2e colonne est le double de la première colonne. On note également que la 4e colonne est égale à la somme de la première avec la troisième. Les colonnes 1 et 3 sont ainsi linéairement indépendantes. Le rang de cette matrice est donc égal à 2. Une autre manière plus directe est de calculer la forme échelonnée réduite de cette matrice. Cette nouvelle matrice a le même rang que la matrice originale et le rang correspond au nombre de lignes qui sont non nulles. Dans ce cas, nous avons deux lignes qui correspondent à ce critère. : A = \begin 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end

Rang d'une application linéaire

Étant donnés deux espaces vectoriels E, F de dimensions finies et une application linéaire f de E dans F, le rang de f est :
-La dimension de l'image de f.
-Le rang de la matrice associée à f dans deux bases de E et F.

Rang d'une famille de vecteurs

-Pour une famille, son rang correspond au nombre maximal de vecteur que peut contenir une sous - famille libre de cette famille
-On peut aussi définir le rang d'une famille u par : rg (u) = dim(Vect(u))

Propriétés

Soit A une matrice
-Inégalité de Frobenius : rg(AB)+rg(BC)\leqrg(ABC)+rg(B)
-Théorème du rang : f une application linéaire de E dans F, dim(E)=rg(f)+dim(Ker(f))
-Transposée : rg(A)=rg(tA)
-Composition : rg(AB)\leqmin(rg(A), rg(B))
-Le rang d'une famille de vecteurs ne change pas lorsqu'on multiplie un de ses vecteurs par un scalaire non nul, lorsqu'on ajoute à un des vecteurs une combinaison linéaire des autres vecteurs, ou lorsqu'on échange deux vecteurs.
-Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. Catégorie:Algèbre linéaire cs:Hodnost matice de:Rang (Mathematik) en:Rank (linear algebra) es:Rango de una matriz he:דרגה it:Rango (algebra lineare) ja:行列の階数 ko:계수 (선형대수학) nl:Rang (lineaire algebra) pl:Rząd macierzy ru:Ранг матрицы sr:Ранг матрице sv:Rang (matematik) uk:Ранг матриці zh:矩阵的秩
Sujets connexes
Algèbre linéaire   Dimension   Endomorphisme   Image   Matrice (mathématiques)   Matrice inversible   Matrice échelonnée   Mineur (algèbre linéaire)   Scalaire   Sous-espace vectoriel   Théorème du rang   Vecteur  
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