Nombre p-adique

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En mathématiques, un nombre p-adique est un élément du corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques, où p est un nombre premier donné. On parle donc de nombre diadique, triadique, etc. Les corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques sont construits par complétion du corps \mathbb Q des nombres rationnels lorsque celui-ci est muni d'une norme particulière nommée norme p-adique et notée |.|_p. En un sens, les corps
Nombre p-adique

En mathématiques, un nombre p-adique est un élément du corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques, où p est un nombre premier donné. On parle donc de nombre diadique, triadique, etc. Les corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques sont construits par complétion du corps \mathbb Q des nombres rationnels lorsque celui-ci est muni d'une norme particulière nommée norme p-adique et notée |.|_p. En un sens, les corps \mathbb Q_p sont apparentés au corps \R des nombres réels, qui est également une complétion du corps des nombres rationnels lorsque la norme considérée est la valeur absolue habituelle. La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la norme p-adique sur le corps \mathbb Q_p est une norme non-archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.

Construction

Approche analytique

Les nombres réels sont définis comme des classes d'équivalence des suites de Cauchy des nombres rationnels. Cependant, cette définition repose sur la métrique choisie et, en en choisissant une autre, d'autres nombres que les nombres réels peuvent être construits. La métrique utilisée pour les nombres réels est appelée métrique euclidienne. Pour un nombre premier donné p, on définit la norme p-adique sur \mathbb Q comme suit : : on rappelle que la valuation p-adique d'un entier a non nul est l'exposant de p dans la décomposition de a en produit de facteurs premiers. : on peut alors construire une valuation pour tout nombre rationnel non nul en posant : ::v_p\left(\frac ab \right) = v_p(a) - v_p(b). : On prouve aisément que cette définition est indépendante du représentant du rationnel choisi. : La norme p-adique |r|_p d'un rationnel r non nul vaut p^. : Si r est nul, on pose |r|_p = 0. Ce prolongement est compatible avec l'idée que 0 est divisible par p^k pour toute valeur de k, donc que la valuation de 0 serait infinie. En quelque sorte, plus r est divisible par p, plus sa norme p-adique est petite (c'est un cas particulier de valuation discrète un outil algébrique !). Par exemple, pour r = 63 \over 550 = 2^\times 3^2\times 5^\times 7\times 11^ : :|r|_2=2\, :|r|_3=1 \over 9\, :|r|_5=25\, :|r|_7=1\over 7\, :|r|_=11\, :|r|_p=1\, pour tout autre nombre premier. On démontre que cette application a toutes les propriétés d'une norme. On peut montrer que toute norme (non-triviale) sur \mathbb Q est équivalente soit à la norme euclidienne, soit à une norme p-adique (théorème d'Ostrowski). Une norme p-adique définit une métrique d_p sur \mathbb Q en posant : :d_p(x, y)=|x-y|_p Le corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques peut alors être défini comme la complétion de l'espace métrique (\mathbb Q, d_p). Ses éléments sont les classes d'équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur différence converge vers zéro. De cette façon, on obtient un espace métrique complet qui est aussi un corps et qui contient \mathbb Q. Cette construction permet de comprendre pourquoi \mathbb Q_p est un analogue arithmétique de \mathbb R.

Approche algébrique

Dans cette approche algébrique, on commence par définir l'anneau des entiers p-adiques, puis par construction le corps des fractions de cet anneau pour obtenir le corps des nombres p-adiques. On définit l'anneau des entiers p-adiques \mathbb Z_p comme la limite projective des anneaux \mathbb Z/p^n\mathbb Z. Un entier p-adique est alors une suite (a_n)_n\ge 1 telle que a_n \in \mathbb Z/p^n\mathbb Z et que, si n
Sujets connexes
Analyse (mathématiques)   Analyse p-adique   Anneau (mathématiques)   Anneau à valuation discrète   Arithmétique modulaire   Axiome du choix   Base (arithmétique)   Caractéristique d'un anneau   Congruence sur les entiers   Corps (mathématiques)   Corps algébriquement clos   Corps des fractions   Corps ordonné   Diviseur de zéro   Décomposition en produit de facteurs premiers   Dérivée   Développement en série de Engel   Ensemble de Cantor   Ensemble dénombrable   Espace complet   Espace localement compact   Espace métrique   Extension algébrique   Isomorphisme   Limite projective   Mathématiques   Métrique   Nombre complexe   Nombre premier   Nombre rationnel   Nombre réel   Norme   Norme (mathématiques)   Norme ultramétrique   Produit infini de Cantor   Relation d'équivalence   Suite de Cauchy   Série entière   Théorie des nombres   Topologie  
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