Théorème d'Abel (analyse)

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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières. Théorème|Soit \textstyle f(x)= \sum_n \geqslant 0 a_n x^n une série entière de rayon de convergence égal à R. Si \textstyle\sum_n\geqslant 0 a_n R^n converge, alors : \lim_x\to R^- f(x) = \sum_n \geqslant 0 a_nR^n. démonstration|contenu= Quitte à effectuer un changement de variables linéaire u=x/R, on peut considérer uniquement
Théorème d'Abel (analyse)

Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières. Théorème|Soit \textstyle f(x)= \sum_n \geqslant 0 a_n x^n une série entière de rayon de convergence égal à R. Si \textstyle\sum_n\geqslant 0 a_n R^n converge, alors : \lim_x\to R^- f(x) = \sum_n \geqslant 0 a_nR^n. démonstration|contenu= Quitte à effectuer un changement de variables linéaire u=x/R, on peut considérer uniquement le cas R=1. La démonstration repose sur la méthode classique de la transformation d'Abel, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales. Notons S_n les sommes partielles de la série \textstyle\sum_n\geqslant 0 a_n (avec la convention S_=0) et l sa somme, alors : \sum_^(S_n-S_)x^n = \sum_^S_n(x^n-x^) + S_Nx^ Pour tout x
Sujets connexes
Changement de variable   Convergence absolue   Intégration par parties   Niels Henrik Abel   Rayon de convergence   Série convergente   Série entière  
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