Exponentielle

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La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme continu de groupes RR
- ou CC
-, une solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre un, ou encore une fonction analytique à une variable réelle ou complexe so
Exponentielle

La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme continu de groupes RR
- ou CC
-, une solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre un, ou encore une fonction analytique à une variable réelle ou complexe somme d'une série entière. Ces trois définitions permettent d'étendre la définition à la géométrie riemannienne, à la théorie des groupes de Lie, ou encore à l'étude des algèbres de Banach. Sans s'étendre sur ces généralisations, les propriétés de l'application exponentielle sont largement abordables. Ses applications élémentaires concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier, l'étude de la croissance des groupes, etc.

Approche vulgarisée

Si a est un nombre réel et n est un nombre entier, alors l'« exponentielle de n en base a » est égale à « a puissance n » soit : :\exp_a(n) = a^n = \undersetn \text\underbracea\times a\times \cdots \times a On peut étendre cette fonction aux nombres non entiers. On démontre alors que les exponentielles sont les fonctions réciproques des logarithmes loga, et d'autre part que les fonctions trigonométriques peuvent s'exprimer de manière simple avec des exponentielles. Ces fonctions se dérivent et s'intègrent de manière très simple, et interviennent dans de nombreuses solutions d'équations différentielles. Il existe une base e telle que l'exponentielle de base e est la fonction réciproque du logarithme népérien ln. Dans cette base, la dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même soit (e^x)' = e^x. C'est cette base qui est la plus utilisée, et c'est à elle que l'on se réfère généralement si on n'en précise pas une autre.

Définitions

Morphisme continu

Il est naturel de vouloir chercher à décrire les morphismes continus f:RR
- (ou par analogie CC
-). Autrement dit, on cherche les applications continues f vérifiant l'équation fonctionnelle suivante : f(u+v)=f(u)\cdot f(v). Nécessairement, f est dérivable et vérifie l'équation différentielle : f'(x)=f'(0)\cdot f(x). En imposant f'(0)=1, on détermine f à une constante multiplicative 1. L'équation fonctionnelle impose cependant f (0)=1, donc f est uniquement déterminée. boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu= Considérons une fonction continûment dérivable g d'une variable réelle et à support compact suffisamment petit et dont l'intégrale vaut 1. On définit la convoluée de f et de g comme suit : :g
-f(x)=\int_-\infty^+\inftyg(y)f(x-y)dy=f(x)\cdot\int_-\infty^+\inftyg(y).f(y)^dy L'intégrale du membre de droite est une constante d'autant plus proche de 1 que le support de g est petit. Donc, on peut choisir g de sorte que cette constante soit non nulle. A une constante multiplicative près, f est égale à la convoluée de f par une fonction continûment dérivable à support compact. De fait, f est elle-même dérivable. Plus généralement, pour un groupe topologique G, on appelle sous-groupe à un paramètre tout morphisme continu RG. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité par la mesurabilité par exemple.

Équation différentielle

La seconde définition, équivalente à la précédente, est l'unique application dérivable f:RR
- vérifiant l'équation différentielle : f'(x)=f(x) avec comme condition initiale f(0)=1. Cette définition se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes.

Série

Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle \exp ou encore x\mapsto e^x comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini : \exp(x) = \sum_^+\infty x^n \over n!, où n! est la factorielle de n. boîte déroulante|titre=Comment trouver cette série ?|contenu= Supposons qu'il existe une solution analytique f somme d'une série entière de rayon de convergence R>0, disons, pour fixer les notations : :f(x)=\sum_^+\inftya_nx^n, avec a0=1. La dérivée est donnée par : :f'(x)=\sum_^+\inftyn\cdot a_nx^. De fait, l'équation f'(x)=f(x) s'écrit, par unicité des coefficients dans le développement en séries entières : :a_n=(n+1)\cdot a_. Par une récurrence immédiate, on établit : :a_n=\frac. Cette dernière approche permet une extension immédiate de la définition de l'exponentielle aux algèbres de Banach.

Propriétés

Fonctions exponentielles réelles

fonction exponentielle dans \R Du fait de la continuité, supposée dans les trois définitions donnée, si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de \R dans \R_+^
- est strictement croissante, continue, continûment dérivable, infiniment dérivable, et encore mieux analytique (ie développable en séries entières au voisinage de tout point). De plus, \lim_x\to -\infty\exp(x)=0 et \lim_x\to +\infty\exp(x)=+\infty, elle admet donc une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur \R_+^
-. Comme les dérivées successives de exp sont exp, la dérivée seconde est positive. Donc exp est convexe. En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout a > 0 la fonction exponentielle de base a notée \exp_a ou x\mapsto a^x, par : : \forall x, \ a^x = \exp(\ln(a) x). La fonction exponentielle permet aussi de définir les fonctions trigonométriques avec les formules d'Euler et les fonctions hyperboliques. Ainsi nous voyons que toutes les fonctions élémentaires, à l'exception des fonctions polynomiales, s'expriment à partir de la fonction exponentielle, sous une forme ou une autre. Les fonctions exponentielles «transforment une addition en une multiplication», comme le montrent ces propriétés : : a^0 = 1 : a^1 = a : a^ = a^x\cdot a^y : a^ = \left( a^x \right)^y : \frac1 = \left(\frac1a \right)^x = a^ : a^x b^x = (a b)^x Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tous réels x et y. Pour a réel strictement positif, \exp_a est le seul morphisme monotone du groupe additif \R dans le groupe multiplicatif \R_+^
- des réels strictement positifs vérifiant \exp_a(1)=a. Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1, et n'est ainsi plus bijective. Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe additif \R sur le groupe multiplicatif \R_+^
-; strictement croissant si a>1 et strictement décroissant si ''a
Sujets connexes
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