Fonction gamma

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Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe, considérée également comme une fonction spéciale. Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté en certains points).
Fonction gamma

Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe, considérée également comme une fonction spéciale. Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté en certains points).

Définition

Tracé du module de la fonction gamma sur le plan complexe Pour z \in \mathbb C tel que Re(z)>0\, , on définit la fonction suivante : :\Gamma : z \mapsto \int_0^+\infty t^\, e^\, dt Cette intégrale converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive. En intégrant par parties, on montre que : :\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z) \ Cette fonction peut être ainsi prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0,   −1, −2, −3, ... qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement "fonction gamma".

Autres définitions

Les définitions suivantes de la fonction gamma par produits infinis, dues respectivement à Euler et Weierstrass, ont un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls : : \Gamma(z) = \lim_n \to +\infty \fracn! \; n^zz \; (z+1)\cdots(z+n) :\Gamma(z) = \frace^-\gamma z \prod_^+\infty \left(1 + \frac\right)^ e^ où \gamma est la constante d'Euler-Mascheroni.

Propriétés

Lien avec la factorielle

La fonction gamma vérifie l'identité : :\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z) \ Comme en particulier \Gamma(1)=1, on en déduit : :\forall\, n \in \mathbb N, \; \Gamma(n+1)=n! La fonction gamma est donc généralement perçue comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté les entiers négatifs ou nuls). Une notation alternative est la fonction pi, introduite par Gauss : :\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \; \Gamma(z), de telle façon que : :\Pi(n) = n! \ .

Caractérisations

sur l'ensemble des réels

La fonction gamma est entièrement caractérisée sur \mathbb R_^ par les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup):
- \Gamma(1)=1\,
- la fonction composée \ln \circ\, \Gamma\, est convexe sur \mathbb R_^
- Pour tout x>0\, , on a : \Gamma(x+1)=x \; \Gamma(x)\,

sur le demi-plan complexe Re(z)>0

La fonction gamma est entièrement caractérisée sur le demi-plan complexe Re(z)>0 par les trois propriétés suivantes (théorème de Wielandt):
- \Gamma(1)=1\,
- \Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)\,
- |\Gamma(z)|\, est bornée dans la bande 1 \le \Re(z) \le 2

Autres propriétés

La fonction gamma vérifie la formule de réflexion d'Euler, ou formule des compléments : :\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = \pi \over \sin \pi z et la formule de duplication : :\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac\right) = 2^ \; \sqrt\pi \; \Gamma(2z). La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication : : \Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac\right) \; \Gamma\left(z + \frac\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac\right) = (2 \pi)^ \; m^ \; \Gamma(mz). Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zeta de Riemann. La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z = −n pour tout entier naturel n. Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par : :\operatorname(\Gamma, -n)=\frac. La fonction gamma est indéfiniment dérivable sur \mathbb_^. Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction polygamma : :\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).\, Plus généralement, sa dérivée p-ième possède l'expression intégrale suivante: :\Gamma^(x)=\int_^+\infty(\ln(t))^\, t^\, e^\, \rmt

Lien avec les sommes de Gauss

La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif (x\mapsto x^s).

Lien avec d'autres fonctions

Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées ; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure. La fonction gamma est reliée à la fonction beta par la formule : :\mathrm(x, y)=\frac\Gamma(x) \; \Gamma(y)\Gamma(x+y). La dérivée du logarithme de la fonction gamma est appelée fonction digamma. Les dérivées d'ordre supérieur sont les fonctions polygamma. Un analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est fourni par les sommes de Gauss. La fonction gamma réciproque est une fonction entière.

Valeurs particulières

Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma et de ses dérivées. La valeur de \Gamma(1/2) peut être déduite de la formule des compléments : :\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = \pi \over \sin \pi z, ce qui implique : :\Gamma(1/2) = \sqrt \pi . Cette valeur permet de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers. :| |- | \Gamma(-3/2)= \frac 4\sqrt\pi |- | \Gamma(-1/2)= -2\sqrt\pi |- | \Gamma(1/2)= \sqrt\pi |- | \Gamma(1)=0!=1 \, |- | \Gamma(3/2)= \frac \sqrt\pi |- | \Gamma(2)=1!=1 \, |- | \Gamma(5/2)=\frac 3 \sqrt\pi |- | \Gamma(3)=2!=2 \, |- | \Gamma(7/2)= \frac 15\sqrt\pi |- | \Gamma(4)=3!=6 \, |- |et dans le cas général : |- | \Gamma \left(n+\frac\right)= \left(n-\frac\right)\Gamma\left(n-\frac\right)=\left(n-\frac\right)\left(n-\frac\right)\cdots\frac\, \frac\, \Gamma\left(\frac\right)=\frac \sqrt\pi |- | En ce qui concerne ses dérivées, avec \gamma la constante d'Euler-Mascheroni: |- | \Gamma'(1/2)=-\sqrt\pi(\gamma+2\, \ln(2)) |- | \Gamma'(1)=-\gamma |- | \Gamma'(2)=1-\gamma |- | \Gamma(1/2)=\sqrt\pi(\gamma+2\, \ln(2))^+\frac\pi^ |- | \Gamma(1)=\gamma^+\frac\pi^ |- | \Gamma''(2)=(1-\gamma)^+\frac\pi^-1 |

Formule asymptotique de Stirling

La formule de Stirling donne un équivalent de la fonction Gamma, et par conséquent de la factorielle, au voisinage de l'infini. Pour la factorielle, elle s'écrit : ::::n\, ! \sim \sqrt2\pi n\, \left(\frac n e\right)^n, ou, pour une meilleure précision : :n\, ! = \sqrt2\pi n\, \left(n \over e\right)^n \left(1 + \frac12\ n + \frac288\ n^2 - \frac51\ 840\ n^3 - \frac2\ 488\ 320\ n^4 + \frac163\ 879209\ 018\ 880\ n^5 + \mathcal \left(\frac \right) \right)

Voir aussi

- Constante de Gauss
- Distribution gamma
- Fonction beta
- Fonction digamma
- Fonction gamma elliptique
- Fonction gamma incomplète
- Fonction gamma multivariable
- Fonction polygamma
- Fonction trigamma
- Formule de Chowla-Selberg
- Formule de Stirling
- Théorème de Bohr-Mollerup
- Gamma Catégorie:Fonctions spéciales cs:Gama funkce de:Gammafunktion el:Συνάρτηση γάμμα en:Gamma function es:Función gamma fa:تابع گاما fi:Gammafunktio he:פונקציית גמא hu:Gamma-függvény it:Funzione gamma ja:ガンマ関数 ko:감마 함수 ms:Fungsi gamma nl:Gammafunctie pl:Funkcja Γ pt:Função gama ru:Гамма-функция sk:Gama funkcia sl:Funkcija gama sr:Гама-функција su:Fungsi gamma sv:Gammafunktionen th:ฟังก์ชันแกมมา tr:Gama fonksiyonu zh:Γ函数
Sujets connexes
Analyse complexe   Anneau (mathématiques)   Carl Friedrich Gauss   Constante d'Euler-Mascheroni   Convergence absolue   Corps fini   Distribution Gamma   Dérivation logarithmique   Dérivée   Entier naturel   Factorielle   Fonction beta   Fonction digamma   Fonction entière   Fonction gamma incomplète   Fonction méromorphe   Fonction polygamma   Fonctions spéciales   Formule de Chowla-Selberg   Formule de Stirling   Intégration par parties   Karl Weierstrass   Leonhard Euler   Mathématiques   Produit de convolution   Produit infini   Prolongement analytique   Période de Gauss   Pôle (mathématiques)   Résidu (analyse complexe)   Théorème de Bohr-Mollerup  
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