Logarithme

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En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction f définie sur ]0, +\infty0, +\infty0, +\infty0, +\infty0 ; + \infty[ vérifiant, pour tous x et y réels strictement positifs : \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\, et log_a(a) = 1\, Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes : \log_a(1) = 0\, : \log_a(x/y) = \log_a(x) - \log_a(y)\, : \log_a(x^n)=n \log_a(x)\, : \log_a(a^n) = n\, pour tout entier naturel n, puis pour
Logarithme

En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction f définie sur ]0, +\infty0, +\infty0, +\infty0, +\infty0 ; + \infty[ vérifiant, pour tous x et y réels strictement positifs : \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\, et log_a(a) = 1\, Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes : \log_a(1) = 0\, : \log_a(x/y) = \log_a(x) - \log_a(y)\, : \log_a(x^n)=n \log_a(x)\, : \log_a(a^n) = n\, pour tout entier naturel n, puis pour tout entier relatif n : \log_a(a^r) = r\, pour tout rationnel r. Comme tout réel x peut être considéré comme limite de termes de la forme a^\, , on détermine log_a(x)\, comme la limite de r_n\, . Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative près: : \log_b(x) = \frac\log_a(x)\log_a(b) : \log_a(b)\log_b(x) = \log_a(x)\, En effet log_b est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en b, mais la fonction \frac\log_a\log_a(b) est aussi une fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en b. Les deux fonctions sont donc identiques. Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule, une dont on connaît déjà la dérivée : ln : \log_a(x) = \frac\ln(x)\ln(a) La fonction log_a est dérivable de dérivée: :\log_a'(x) = \fracx\ln(a) Elle est donc strictement monotone, croissante quand a est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire. C’est une bijection dont la réciproque est la fonction x \to a^x Curiosité mathématique: avec une erreur inférieure à 0, 6% : \log_2(x) \approx \log_(x) + \ln(x)\, .
- Pour un inventaire de toutes les propriétés voir article détaillé : identités logarithmiques

Voir aussi

Applications pratiques

- Règle à calcul
-Échelle logarithmique
-Table de logarithmes ===
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