Transformation de Möbius

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:La transformation de Möbius ne doit pas être confondue avec la transformée de Möbius ---- Les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de \mathbb^n noté \hat\mathbb^n, définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des plans ou des sphères. En particulier, si on identifie \hat\mathbb^2 à \hat\mathbb C, alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orie
Transformation de Möbius

:La transformation de Möbius ne doit pas être confondue avec la transformée de Möbius ---- Les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de \mathbb^n noté \hat\mathbb^n, définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des plans ou des sphères. En particulier, si on identifie \hat\mathbb^2 à \hat\mathbb C, alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme: ::M : z \rightarrow az+b \over cz+d avec a, b, c et d quatre complexes tels que ad - bc \neq 0 On étend alors cette fonction à \hat\mathbb C en posant : ::M(- d \over c) = \infty et M(\infty) = a \over c.

Définition générale

Soit n\in\mathbb N, on se place dans \hat\mathbb R^n, et on définit alors les inversions de \hat\mathbb R^n par rapport à un plan ou à une sphère:
-pour un plan P(a, t)=\x\in\mathbb R^n, (x\cdot a)=t\ (a\in \mathbb R^n, t\in \mathbb R), l'inversion par rapport à P(a, t) notée \sigma_ est la réflexion par rapport au planP(a, t) et a pour expression: :\sigma_(x)=x-2((x\cdot a)-t)a/|a|^2 si x\in \mathbb R ^n :\sigma_(\infty)=\infty
-pour une sphère S(a, r)=\x\in \mathbb R^n, |x-a|=r\ (a\in \mathbb R^n, r\in \mathbb R^+) (, l'inversion par rapport à S(a, r) notée \sigma_ s'exprime: :\sigma_(x)=a+\frac si x\in \mathbb R ^n :\sigma_(\infty)=a et \sigma_(a)=\infty On remarque que les inversions sont involutives: si \sigma est une inversion, \sigma^2=Id De plus, ces inversions sont des homéomorphismes. :Définition: L'ensemble des transformations de Möbius, est le sous-groupe des homéorphismes de \hat\mathbb R^n généré par les inversions, c'est-à-dire l'ensemble des composées d'un nombre fini d'inversions. On le note souvent \mathcal GM (\hat\mathbb R^n). :Définition: Le groupe de Möbius \mathcal M (\hat\mathbb R^n)est l'ensemble des transformations de Möbius qui préservent l'orientation. C'est un sous-groupe de \mathcal GM (\hat\mathbb R^n).

Exemples de transformations de Möbius

Les principaux exemples de transformations de Möbius sont:
-Les translations (par composition de deux réflexions)
-Les isométries de \mathbb R^n (par composition de n réflexions au plus)
-Les homothéties 'par composition de deux inversions par rapport à des sphères puis d'une isométrie) Une transformation de Möbius particulière est très utile en géométrie hyperbolique: l'inversion dans \mathbb R^ par rapport à la sphère S(e_, \sqrt 2), qui restreinte à \mathbb R^n correspond à la projection stéréographique de \mathbb R^n sur S_n=S(0, 1) dans \mathbb R ^. C'est en fait le difféomorphisme naturel entre \mathcal H_ et B_=\x, |x|
Sujets connexes
Action par conjugaison   August Ferdinand Möbius   Automorphisme   Géométrie hyperbolique   Henri Poincaré   Homéomorphisme   Involution   Isométrie   Métrique riemannienne   Orientation (mathématiques)   Plan complexe   Projection stéréographique   Quaternion   Réflexion (mathématiques)   Sous-groupe   Sphère de Riemann   Trace (algèbre)   Transformation de Möbius   Transformée de Möbius   Transformée en W   Translation (géométrie)  
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