Variété différentielle

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Une variété topologique M de dimension n est un espace topologique séparé, tel que chacun de ses points admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de l'espace euclidien \mathbb^n. Plus précisement : \forall x\in M , il existe un voisinage ouvert U_x et un homéomorphisme \varphi_x:U_x\longrightarrow \varphi_x(U_x)\subset\mathbb^n. On dit alors que (U_x, \varphi_x) est une carte locale de M. Des cartes (U_x, \varphi_x) qui recouvrent (entièrement
Variété différentielle

Une variété topologique M de dimension n est un espace topologique séparé, tel que chacun de ses points admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de l'espace euclidien \mathbb^n. Plus précisement : \forall x\in M , il existe un voisinage ouvert U_x et un homéomorphisme \varphi_x:U_x\longrightarrow \varphi_x(U_x)\subset\mathbb^n. On dit alors que (U_x, \varphi_x) est une carte locale de M. Des cartes (U_x, \varphi_x) qui recouvrent (entièrement) M constituent un atlas de la variété M. Étant donné un tel atlas, on dit que M est une variété différentielle de classe \mathcal^k, \ k\ge 1 pour cet atlas si : \forall\ x, \ y, tel que U_x\cap U_y\neq\varnothing, alors \varphi_x\circ\varphi_y^ est un difféomorphisme de classe \mathcal^k.

Propriétés

Les variétés différentielles forment une catégorie dont les morphismes sont les applications différentiables Catégorie:Géométrie différentielle Catégorie:Topologie différentielle en:Differentiable manifold es:Variedad diferenciable zh:微分流形
Sujets connexes
Difféomorphisme   Espace séparé   Espace topologique   Homéomorphisme   Théorie des catégories   Variété (géométrie)  
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