Indicatrice d'Euler

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Les mille premières valeurs de φ(n) En mathématiques, 'indicatrice d'Euler' est une fonction de la théorie des nombres. Elle est utilisée pour les mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres. En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie. La fonction indicatrice est aussi appel
Indicatrice d'Euler

Les mille premières valeurs de φ(n) En mathématiques, 'indicatrice d'Euler' est une fonction de la théorie des nombres. Elle est utilisée pour les mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres. En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie. La fonction indicatrice est aussi appelée fonction phi d'Euler ou simplement la fonction phi, car la lettre φ est communément utilisée pour elle. Elle est nommée en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) qui fut le premier à l'étudier.

Définition et calcul explicite

Définition et exemple

- L'indicatrice d'Euler φ est la fonction de l'ensemble des entiers strictement positifs dans lui même, qui à n associe le nombre d'entiers positifs inférieurs à n et premiers avec n. Par exemple, φ(8) = 4 car les quatre nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8.

Premières propriétés

Dans ce paragraphe, n désigne un entier strictement positif. :
- La valeur φ(n) est égale au nombre d'éléments primitifs d'un groupe cyclique d'ordre n. Un élément primitif désigne un membre du groupe engendrant le groupe entier. Cette propriété est démontrée dans le paragraphe Théorème fondamental de l'article Groupe cyclique. :
- La valeur φ(n) est égale à l'ordre du groupe des unités de l'anneau Z/nZ. Le groupe des unités désigne l'ensemble des éléments inversibles pour la multiplication de l'anneau. Cette propriété est démontrée dans le paragraphe Groupe des unités de l'article Anneau Z/nZ. :
- Si u et v sont deux entiers strictement positifs et premiers entre eux, alors φ(u.v)=φ(u).φ(v). Une telle fonction est dite multiplicative. Cette propriété est une conséquence du théorème des restes chinois. En effet, soit G (respectivement Gu et Gv )un groupe d'ordre u.v (respectivement u et v). Le théorème chinois montre que G est isomorphe à GuxGv. Un élément du groupe produit est générateur si et seulement si sa première composante est génératrice du premier groupe et sa deuxième composante est génératrice du deuxième groupe. Le nombre de d'éléments générateurs du groupe produit est donc égal à φ(u).φ(v). L'isomorphisme montre que cette valeur est égale au nombre d'éléments générateurs du groupe G, ce qui démontre la formule recherchée.

Calcul

La valeur de l'indicatrice d'Euler s'obtient par l'expression de n donnée par le théorème fondamental de l'arithmétique : Si\;n=\prod_^q p_i^\quad alors \quad \varphi (n)=\prod_^q (p_i-1).p_i^ = n \prod_\left( 1- \frac \right) Dans la formule, pi désigne un nombre premier et ki un entier strictement positif. En effet, le caractère multiplicatif de l'indicatrice d'Euler et une récurrence montre que : \varphi(n) = \prod_^q \varphi(p_i^) Il suffit alors de dénombrer le nombre d'entiers non premiers avec une puissance d'un nombre premier et plus petit que celui-ci pour remarquer que : \forall i \in \quad \varphi(p_i^)= p_i^ - p_i^=(p_i-1).p_i^ Ce qui permet de conclure la démonstration.

Autres propriétés

Arithmétique modulaire

L'indicatrice d'Euler est une fonction essentielle de l'arithmétique modulaire, elle est à la base de résultats fondamentaux, à la fois en mathématiques pures et appliquées. :
- Un entier p est premier si et seulement si φ(p) = p - 1. Cette propriété est une conséquence directe du calcul explicite de l'indicatrice. La cryptologie utilise largement cette fonction. Le code RSA se fonde sur le théorème d'Euler, indiquant que si n est un entier strictement positif et a un entier premier avec n, alors aφ(n) ≡ 1 (mod n). Une autre branche de la théorie de l'information utilise l'indicatrice : la théorie des codes. Les codes correcteurs, et particulièrement les codes cycliques. Ce type de code se construit à l'aide de polynôme cyclotomique et le degré du polynôme cyclotomique Φn d'indice n à coefficients dans les entiers est égal à φ(n). Plus précisément, on dispose des égalités suivantes : X^n-1 \ = \ \prod_d\mid n \Phi_d \quad et \; donc \quad \sum_d\mid n\varphi(d)=n La somme et le produit sont étendus à tous les diviseurs positifs d de n. La formule d'inversion de Möbius permet d'inverser cette somme : \varphi(n)=\sum_d\mid n d \mu(n/d) Ici, μ désigne la fonction de Möbius usuelle définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs.

Théorie analytique des nombres

Les deux fonctions génératices présentées ici sont des conséquences directes du fait que : :\sum_ \varphi(d) = n. Une série de Dirichlet utilisant \varphi(n) est \sum_^\infty \frac\varphi(n)=\frac\zeta(s-1)\zeta(s). qui est dérivé depuis : : \zeta(s) \sum_^\infty \frac\varphi(n) = \sum_^\infty \left(\sum_ \varphi(d)\right) \frac = \sum_^\infty \frac = \zeta(s-1), ou \zeta(s) est la Fonction Zeta de Riemann. Une série de Lambert utilisant \varphi(n) est :\sum_^\infty \frac\varphi(n) q^n= \frac qui converge pour |q| 0\, et n > N(\epsilon)\, . En fait, si nous considérons : \frac \varphi(n)\, nous pouvons écrire, à partir de la formule précédente, sous forme de produit de facteurs : 1 - p^\, où les p sont des nombres premiers divisant n. Par conséquent les valeurs de n correspondantes aux valeurs particulièrement petites du rapport sont les n qui sont le produit d'un segment initial de la suite de tous les nombres premiers. À partir du théorème des nombres premiers il peut être montré qu'une constante ε dans la formule précédente peut par conséquent être remplacée par : C \frac\log\log \log n\, .

Les 99 premières valeurs de la fonction φ

| class="wikitable" ! \varphi(n) ! +0 || +1 || +2 || +3 || +4 || +5 || +6 || +7 || +8 || +9 |- ! 0+ |   || 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || 4 || 6 |- !10+ | 4 || 10 || 4 || 12 || 6 || 8 || 8 || 16 || 6 || 18 |- !20+ | 8 || 12 || 10 || 22 || 8 || 20 || 12 || 18 || 12 || 28 |- !30+ | 8 || 30 || 16 || 20 || 16 || 24 || 12 || 36 || 18 || 24 |- !40+ | 16 || 40 || 12 || 42 || 20 || 24 || 22 || 46 || 16 || 42 |- !50+ | 20 || 32 || 24 || 52 || 18 || 40 || 24 || 36 || 28 || 58 |- !60+ | 16 || 60 || 30 || 36 || 32 || 48 || 20 || 66 || 32 || 44 |- !70+ | 24 || 70 || 24 || 72 || 36 || 40 || 36 || 60 || 24 || 78 |- !80+ | 32 || 54 || 40 || 82 || 24 || 64 || 42 || 56 || 40 || 88 |- !90+ | 24 || 72 || 44 || 60 || 46 || 72 || 32 || 96 || 42 || 60 |

Autres formules impliquant la fonction φ d'Euler

:\;\varphi(n^m) = n^\varphi(n) pour m\ge 1 :\sum_d \mid n \frac\mu^2(d)\varphi(d) = \frac\varphi(n) :\sum_1\le k\le n \atop (k, n)=1\!\!k = \fracn\varphi(n) pour \;n>1 :\sum_^n\varphi(k) = \frac\left(1+ \sum_^n \mu(k)\left\lfloor\frac\right\rfloor^2\right) :\sum_^n\frac\varphi(k) = \sum_^n\frac\mu(k)\left\lfloor\frac\right\rfloor :\sum_^n\frac\varphi(k) = \mathcal(n) :\sum_^n\frac\varphi(k) = \mathcal(\log(n))

Inégalités

Certaines inégalités impliquant la fonction \varphi sont : : \varphi(n) > \frac e^\gamma\; \log \log n + \frac \log \log n pour n > 2, où \gamma\, est la constante d'Euler, : \varphi(n) \ge \sqrt\frac pour n > 0, et : \varphi(n) \ge \sqrt pour n > 6. Pour un nombre premier n, clairement \varphi(n) = n-1\, . Pour un nombre composé n, nous avons : \varphi(n) \le n-\sqrt (pour un nombre composé n). Pour tous les n>1 : :0
Sujets connexes
Anneau (mathématiques)   Anneau Z/nZ   Anti-indicateur   Anticoïndicateur   Arithmétique modulaire   Code correcteur   Code cyclique   Congruence sur les entiers   Constante d'Euler-Mascheroni   Cryptologie   Entier naturel   Fonction de Möbius   Fonction diviseur   Fonction génératrice   Fonction multiplicative   Formule d'inversion de Möbius   Groupe (mathématiques)   Groupe cyclique   Groupe des unités   Inégalité   Leonhard Euler   Mathématicien   Mathématiques   Mathématiques appliquées   Mathématiques pures   Nombre composé   Nombre premier   Nombres premiers entre eux   Polynôme cyclotomique   Produit direct (groupes)   Raisonnement par récurrence   Rivest Shamir Adleman   Robert Daniel Carmichaël   Suisse   Série de Dirichlet   Série de Lambert   Théorie algébrique des nombres   Théorie analytique des nombres   Théorie de l'information   Théorie des codes   Théorie des nombres   Théorème d'Euler   Théorème des nombres premiers   Théorème des restes chinois   Théorème fondamental de l'arithmétique   Un  
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