Théorème de Lindemann-Weierstrass

Infos
En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur les nombres rationnels, alors e^\alpha_1 \cdots e^\alpha_n\, sont algébriquement indépendants sur les nombres algébriques ; en d'autres mots, l'ensemble e^\alpha_1 \cdots e^\alpha_n\, possède le degré de transcendance n sur \Bbb. Une formulation équivalente du théorème est la suivante
Théorème de Lindemann-Weierstrass

En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur les nombres rationnels, alors e^\alpha_1 \cdots e^\alpha_n\, sont algébriquement indépendants sur les nombres algébriques ; en d'autres mots, l'ensemble e^\alpha_1 \cdots e^\alpha_n\, possède le degré de transcendance n sur \Bbb. Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques distincts alors e^\alpha_1 \cdots e^\alpha_n sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques. Le théorème fut nommé ainsi en l'honneur de Ferdinand von Lindemann, qui prouva le cas particulier de la transcendance de \pi\, , et Karl Weierstrass.

Transcendance de e et π

La transcendance de e et celle de \pi\, sont des corollaires immédiats de ce théorème. Supposons que \alpha\, soit un nombre algébrique différent de zéro ; alors \alpha\, est un ensemble linéairement indépendant sur les nombres rationnels, et par conséquent e^\alpha\, possède un degré de transcendance un sur les nombres rationnels ; en d'autres termes e^\alpha\, est transcendant. En utilisant l'autre formulation, nous pouvons argumenter que si 0, \alpha\, est un ensemble de nombres algébriques distincts, alors l'ensemble e^0, e^\alpha\, = 1, e^\alpha\, est linéairement indépendant sur les nombres algébriques, et ainsi e^\alpha\, est immédiatement vu comme étant transcendant. En particulier, e^1 = e\, est transcendant. Donc, si \beta = e^i \alpha\, est transcendant, alors sa partie réelle et sa partie imaginaire : :\cos(\alpha) = Re(\beta) = \frac\beta + \beta^\, et :\sin(\alpha) = Im(\beta) = \frac\beta - \beta^ le sont aussi. :Par conséquent, si \pi\, était algébrique, \cos(\pi) = - 1\, et \sin(\pi) = 0\, seraient transcendants, ce qui prouve par l'absurde que \pi\, n'est pas algébrique, autrement dit qu'il est transcendant.

Conjecture p-adique

La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass affirme que ce résultat est vrai pour les nombres p-adique : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que |\alpha_i|_p < 1/p pour un certain nombre premier p, alors les exponentielles p-adiques e^\alpha_1 \cdots e^\alpha_n sont transcendantes algébriquement indépendantes. Lindemann-Weierstrass Theoreme de Lindemann-Weierstrass Lindemann Catégorie:Théorie des nombres de:Satz von Lindemann-Weierstraß en:Lindemann–Weierstrass theorem it:Teorema di Lindemann-Weierstrass ru:Теорема Линдемана — Вейерштрасса sl:Lindemann-Weierstrassov izrek
Sujets connexes
E (constante mathématique)   Ferdinand von Lindemann   Karl Weierstrass   Mathématiques   Nombre algébrique   Nombre p-adique   Nombre rationnel  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^