Sous-espace vectoriel

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En algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E est un ensemble F inclus dans E, tel que les lois « + » et « \cdot » de E, appliquées à F, font de ce dernier un espace vectoriel (sur le même corps \mathbb), c'est-à-dire que ( F,  +,  \cdot ) est un \mathbb-espace vectoriel.
Sous-espace vectoriel

En algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E est un ensemble F inclus dans E, tel que les lois « + » et « \cdot » de E, appliquées à F, font de ce dernier un espace vectoriel (sur le même corps \mathbb), c'est-à-dire que ( F,  +,  \cdot ) est un \mathbb-espace vectoriel.

Définition équivalente

Le sous-ensemble F est un \mathbb K-sous-espace vectoriel de E si et seulement si :
- F \neq \emptyset ;
- \forall u \in F , \ \forall v \in F , \ u + v \in F ;
- \forall \lambda \in \mathbb , \ \forall u \in F , \ \lambda u \in F . Ceci équivaut à :
- F \neq \emptyset ;
- \forall u \in F, \ \forall v \in F, \ \forall \lambda \in \mathbb, \ \lambda u + v \in F. En d'autres termes, F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par combinaisons linéaires. Nota : dans tout espace vectoriel E non réduit à \ \0\, il y a au moins deux sous-espaces vectoriels. Ce sont \ \0\ et E lui-même : on les appelle les deux sous-espaces vectoriels triviaux. Remarque 1 : un sous-espace vectoriel F de E contient nécessairement le vecteur nul \ 0_E de E (en effet, comme F est non vide, il existe au moins un élément \ u_0 de F ; alors, pour tout \ \lambda dans \ \mathbb, \lambda u_0 appartient à F ; le choix \ \lambda = 0 donne 0_E = 0 \cdot u_0 \in F). C'est pourquoi, lorsqu'il s'agit de montrer qu'un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de E, on vérifie que F n'est pas vide en s'assurant qu'il contient le vecteur nul. Remarque 2 : lorsque E n'est pas réduit à \ \0\, on définit dans l'ensemble G = E \setminus \0_E\ une relation d'équivalence R qui consiste à dire que deux éléments V et W sont liés par R s'il existe un élément k non nul du corps commutatif K tel que W = k V. Alors P, l'ensemble quotient de G par R, a une structure très riche d'espace projectif.

Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Propriété

Soient F_1\quad et F_2\quad deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :
- F_1 \cap F_2 est un sous-espace vectoriel de E . Plus généralement, toute intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, c'est-à-dire que : pour toute famille (F_i)_i\in I de sous-espaces vectoriels de E , \cap_i\in IF_i est un sous-espace vectoriel de E .

Union de sous-espaces vectoriels

Dans le cas général, la structure de sous-espace vectoriel n'est pas stable par l'union. Il existe deux propositions traitant ce cas.
- E est ici de dimension finie, et son corps associé est de cardinal infini. Si (F_i) est une famille finie de sous-espaces vectoriels de E et tous différents de E, alors l'union de la famille (F_i) est différente de E.
- Si (F_i) est une famille de sous-espaces vectoriels de E telle que l'union de deux éléments de cette famille soit toujours incluse dans un troisième élément de la famille, alors l'union de la famille (F_i) est un sous-espace vectoriel de E. boîte déroulante|align=left|titre=Démonstrations|contenu= ; E est ici de dimension finie et son corps associé est de cardinal infini. Si (F_i) est une famille finie de sous-espaces vectoriels de E et tous différents de E, alors l'union de la famille (F_i) est différente de E. :Soit fi, une forme linéaire non nulle qui s'annule sur F_i. Considérons alors la fonction \phi de E dans son corps définie par: :: \forall x \in E \quad \varphi(x)=\prod_i f_i(x) :Cette fonction est polynomiale, en autant de variables que la dimension de E, en les coordonnées de x si x est exprimé dans une base de E. Comme l'anneau des polynômes à plusieurs variables sur un corps est intègre, et que \phi est le produit de polynômes non nuls, \phi est non nulle. Il existe donc un vecteur de E ayant une image non nulle par \phi, ce vecteur n'est dans aucun sous-espace vectoriel de la famille. ;Si (F_i) est une famille de sous-espaces vectoriels telle que l'union de deux éléments de cette famille soit toujours incluse dans un troisième élément de la famille, alors l'union est un sous-espace vectoriel. :L'union est non vide. Il est clair qu'elle est stable pour le produit externe, car cette propriété s'applique à toute union de sous-espaces vectoriels. Elle est aussi stable par addition car l'union de deux éléments de cette famille est toujours incluse dans un troisième élément de cette famille. Le résultat est ainsi démontré.

Somme de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels

Définition

Soient F_1\quad et F_2\quad deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : : F_1 + F_2 = \left\x \in E / \exists x_1 \in F_1, \exists x_2 \in F_2, x = x_1 + x_2\right\ .

Propriété et définition

- F_1 + F_2\quad est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois F_1 \quad et F_2\quad . On l'appelle somme de F_1\quad et F_2\quad.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois F_1 \quad et F_2\quad , alors F_1 + F_2 \subset F . :C'est pourquoi on dit que F_1 + F_2\quad est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F_1 \cup F_2. Cela équivaut à :
- F_1 + F_2\quad est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant F_1 \cup F_2. Remarque : la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas, en général, un sous-espace vectoriel ; pour qu'elle le soit, il faut et il suffit que l'un des deux soit inclus dans l'autre.

Généralisation

Soient F_1, F_2, \dots, F_m m sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : : \sum_^m F_i = \left\x \in E / \exists (x_1, x_2, \dots, x_m) \in F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_m, x = x_1 + x_2 + \cdots + x_m\right\ . :C'est l'ensemble des vecteurs de E qui admettent au moins une décomposition en somme de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espaces vectoriels F_1, F_2, \dots, F_m (si cette décomposition est de plus unique, la somme des sous-espaces est dite directe). Dès lors :
- \sum_^m F_i est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois F_1, F_2, \dots, F_m . On l'appelle somme de ces sous-espaces.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois F_1, F_2, \dots, F_m , alors \sum_^m F_i \subset F . :On dit de même que \sum_^m F_i est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m.

Sous-espace vectoriel engendré

Définition

Soit A une partie quelconque de E.
- Si A est non vide, on définit le sous-ensemble suivant de E : : \mbox(A) = \left\ \sum_^n \lambda_i x_i \Bigg/ n \in \mathbb^\star, \lambda_i \in \mathbb K, x_i \in A \right\. :(ainsi, \mbox(A) est par définition l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A).
-On complète cette définition en posant \mbox(\emptyset) = \0_E\.

Propriété 1

Soit A une partie de E.
- L'ensemble \mbox(A) est un sous-espace vectoriel de E, et il contient A.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors \mbox(A) \subset F. : C'est pourquoi on dit que \mbox(A) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. :On l'appelle sous-espace vectoriel de E engendré par A.
- Le sous-espace vectoriel engendré par A est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A. Nota : considérons l'application \varphi : \mathcal(E) \to \mathcal(E), A \mapsto \mbox(A), où \mathcal(E) désigne l'ensemble des parties de E. On désigne par A et B deux parties quelconques de E. Il résulte de la propriété précédente que :
-L'application \varphi est croissante : si A \subset B, alors \mbox(A) \subset \mbox(B) .
-L'application \varphi est extensive : A \subset \mbox(A) .
-L'application \varphi est idempotente : \mbox((\mbox(A)) = \mbox(A) : On dit alors que \varphi est une fermeture. Les sous-espaces vectoriels de E sont les points fixes de \varphi :
-Pour qu'une partie A de E soit un sous-espace vectoriel de E, il faut et il suffit que \mbox(A) = A.

Propriété 2

Soient A et B deux parties de E. Alors :
- \mbox(A) + \mbox(B) = \mbox(A \cup B) Catégorie:Algèbre linéaire en:Linear subspace es:Subespacio vectorial fi:Lineaarinen aliavaruus it:Sottospazio vettoriale ja:線型部分空間 pl:Podprzestrzeń liniowa sv:Delrum
Sujets connexes
Algèbre linéaire   Combinaison linéaire   Corps (mathématiques)   Ensemble   Espace projectif   Espace vectoriel   Fonction polynôme   Relation d'équivalence   Somme directe  
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