Identité d'Euler

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right L'identité d'Euler est la relation suivante : : e^i \pi + 1 = 0\; où \ e est la base du logarithme népérien, \ i est l'unité des imaginaires purs (vérifiant \ i^2=-1) et \ \pi est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre). L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748. Dans la préface de l'un de ses cahiers, alors qu'il avait presque quinze ans,
Identité d'Euler

right L'identité d'Euler est la relation suivante : : e^i \pi + 1 = 0\; où \ e est la base du logarithme népérien, \ i est l'unité des imaginaires purs (vérifiant \ i^2=-1) et \ \pi est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre). L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748. Dans la préface de l'un de ses cahiers, alors qu'il avait presque quinze ans, Richard Feynman, qualifia cette identité de « formule la plus remarquable au monde ». Feynman a trouvé cette formule remarquable parce qu'elle lie des constantes mathématiques fondamentales :
- Les nombres \ 0 et \ 1 sont respectivement les éléments neutres pour l'addition et la multiplication.
- Le nombre \ \pi est une constante relative à notre monde euclidien, au moins sur de petites échelles (sinon le rapport de la longueur de la circonférence du cercle à son diamètre n'est pas une constante universelle, c'est-à-dire la même pour toutes les circonférences).
- Le nombre \ e est important dans la description des comportements de forte croissance, et apparaît dans la solution \ y (\ y(x) = e^x) de la plus simple équation différentielle de croissance : \ dy / dx = y et \ y(0)=1.
- Enfin, le nombre imaginaire \ i a été introduit pour que tous les polynômes non constants à coefficients réels admettent des racines (voir le théorème de d'Alembert). La formule comporte également les opérations arithmétiques fondamentales d'addition, de multiplication et d'élévation à une puissance. Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe : :Pour tout nombre réel \ x, : \ e^ = \cos x + i \sin x \, \! (moyen mnémotechnique: cis(x) = cos(x)+i sin(x) ) Si nous posons \ x = \pi, alors : \ e^i \pi = \cos \pi + i \sin \pi \, \! et puisque \ \cos(\pi) = -1 et \ \sin(\pi) = 0, nous obtenons : \ e^i \pi = -1 \, \! et par conséquent, : \ e^i \pi + 1 = 0 \, \! Justaposition de 16 triangles rectangles Juxtaposition de 16 triangles rectangles Justaposition de 8 triangles rectangles Juxtaposition de 8 triangles rectangles
-L'interprétation géométrique est issue de e^i \pi \simeq (1 + \fraci\pi)^N \simeq -1 \; :à partir du germe suivant réitéré N fois Image:EulerIdentity2.png Image:EulerIdentity2b.png :En effet, d'une part, z\, \in\mathbb \quad e^z = \lim_n\to\infty \left(1+\frac\right)^n et d'autre part les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées \left(1 + \fraci\pi\right)^N est obtenu en juxtaposant N\, triangles rectangles comme indiqué sur la figure ci-contre. :Aussi belle et mystérieuse qu'est cette identité d'Euler, on comprend mieux géométriquement pourquoi, lorsque N\, tend vers \infty\, , le point d'affixe e^i \pi\, est égal à (-1, 0)\,

Une autre identité d'Euler en analyse à plusieurs variables

L' identité d'Euler est la relation suivante : (voir Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)) Si f(x_1, x_2, ..., x_n) est une fonction de classe C¹ homogène de degré k, alors :\sum_^ x_i \frac \partial f\partial =k f

Lien externe

Catégorie:Analyse complexe Identite d'Euler Euler Euler ca:Identitat d'Euler de:Eulersche Identität en:Euler's identity es:Identidad de Euler fi:Eulerin identiteetti ja:オイラーの等式 nl:Formule van Euler sl:Eulerjeva enačba zh:欧拉公式
Sujets connexes
Addition   Analyse complexe   Cercle   Diamètre   Formule d'Euler   Lausanne   Leonhard Euler   Logarithme naturel   Nombre complexe   Nombre imaginaire pur   Nombre réel   Pi   Plan complexe   Polynôme   Puissance (mathématiques élémentaires)   Richard Feynman   Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)   Triangle rectangle  
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