Anneau intègre

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Un anneau intègre est, en mathématiques et plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un anneau qui ne possède aucun diviseur de zéro, et non réduit à l'élément neutre pour la première loi.
Anneau intègre

Un anneau intègre est, en mathématiques et plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un anneau qui ne possède aucun diviseur de zéro, et non réduit à l'élément neutre pour la première loi.

Définition

Un anneau A est dit intègre s'il est non nul et ne possède aucun diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de A est régulier pour la multiplication, soit encore : \forall a, b \in A~~(ab = 0 \Rightarrow (a=0~\vee~b=0)). Par convention, l'anneau nul \0\ n'est pas intègre.

Propriétés

- Tout corps, ou plus généralement tout anneau à division (corps non commutatif) est un anneau intègre.
- Tout anneau commutatif intègre peut être plongé dans un corps. Il existe à isomorphisme près un plus petit corps dans lequel il peut être plongé, appelé le corps des fractions.
- Un anneau commutatif A est intègre ssi son anneau des polynômes A l'est.

Exemples

- L'ensemble \mathbb Z des entiers relatifs est un anneau intègre. Par définition, \mathbf Q est son corps des fractions.
- L'ensemble des congruences modulo-6 \mathbb Z/6\mathbb Z n'est pas intègre car on peut y écrire 2 × 3 = 0.
- L'ensemble des congruences modulo-n Z/nZ est intègre si n est premier, et dans ce cas, c'est un corps. Catégorie:anneau Catégorie:Zéro cs:Obor integrity de:Integritätsring el:Ακεραία περιοχή en:Integral domain es:Dominio de integridad et:Integriteetkond fi:Kokonaisalue he:תחום שלמות it:Chiusura integrale ko:정역 pl:Dziedzina całkowitości pt:Domínio de integridade ru:Область целостности zh:整环
Sujets connexes
Anneau (mathématiques)   Anneau Z/nZ   Congruence sur les entiers   Corps (mathématiques)   Corps des fractions   Diviseur de zéro   Mathématiques   Théorie des anneaux  
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