Cube de Hilbert

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En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit K = \left^\mathbb N muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact. Il est homéomorphe à \left \times \left \times \left \times \cdots, ou à l'espace des suites x = \left(x_n\right)_n \in \mathbb N, telles que \forall n, \; 0 \le x_n \le \frac, muni de la distance : :d\left(x, y\right) = \sqrt\sum_^\infty \left(x_n-y_n\right)^2. Il s'agit donc d'un espace métrisable. Il e
Cube de Hilbert

En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit K = \left^\mathbb N muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact. Il est homéomorphe à \left \times \left \times \left \times \cdots, ou à l'espace des suites x = \left(x_n\right)_n \in \mathbb N, telles que \forall n, \; 0 \le x_n \le \frac, muni de la distance : :d\left(x, y\right) = \sqrt\sum_^\infty \left(x_n-y_n\right)^2. Il s'agit donc d'un espace métrisable. Il est à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes), et possède la propriété universelle suivante : :« Tout espace métrisable à base dénombrable est homéomorphe à un sous-espace de K. » Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement si il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K. Catégorie:Analyse fonctionnelle en:Hilbert cube ru:Гильбертов кирпич
Sujets connexes
Compacité séquentielle   David Hilbert   Espace mesurable   Espace métrique   Espace polonais   Espace à base dénombrable   Glossaire topologique   Homéomorphisme   Topologie   Tribu borélienne  
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