Fonction elliptique

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En analyse complexe, une fonction elliptique est, grossièrement parlant, une fonction définie sur le plan complexe qui est doublement périodique (périodique dans deux directions). Elle peut être vue comme analogue à une fonction trigonométrique (qui a une seule période).
Fonction elliptique

En analyse complexe, une fonction elliptique est, grossièrement parlant, une fonction définie sur le plan complexe qui est doublement périodique (périodique dans deux directions). Elle peut être vue comme analogue à une fonction trigonométrique (qui a une seule période).

Description

Formellement, une fonction elliptique est une fonction méromorphe f définie sur \mathbb pour laquelle il existe deux nombres complexes non nuls a et b tels que :
-a\over b \not\in \mathbb
-f(z+a)=f(z+b)=f(z) \ \forall z \in\mathbb De ceci, il suit que : f(z+ma+nb)=f(z)\ \forall z \in \mathbb, \forall m \in \mathbb, \forall n \in \mathbb La plus importante classe de fonctions elliptiques est celle des fonctions elliptiques de Weierstrass; toute fonction elliptique peut être exprimée à l'aide de celles-ci. Les fonctions elliptiques sont les applications réciproques des fonctions intégrales elliptiques, et c'est de cette façon qu'historiquement elles ont été introduites. Tout nombre complexe ω tel que f(z+\omega)=f(z) \ \forall z \in \mathbb est appelé « période » de f. Si les deux périodes a et b sont telles que toute autre période ω puisse être écrite sous la forme ω = ma + nb avec m et n entiers, alors a et b sont appelées « périodes fondamentales ». Toute fonction elliptique possède une paire de périodes fondamentales, mais elle n'est pas unique. Si a et b sont des périodes fondamentales, alors tout parallélogramme de sommets d'affixe z, z + a, z + b, z + a + b est appelé un « parallélogramme fondamental ». Translater un tel parallélogramme d'un multiple entier de a et b donne un parallélogramme du même type, et la fonction f se comporte identiquement sur ce parallélogramme translaté, à cause de la périodicité. Le nombre de pôles dans tout parallélogramme fondamental est fini (et le même pour tout parallélogramme fondamental). À moins que la fonction elliptique ne soit constante, tout parallélogramme contient au moins un pôle, conséquence du théorème de Liouville. La somme des ordres des pôles dans tout parallélogramme fondamental est appelée l’« ordre » de la fonction elliptique. La somme des résidus des pôles dans un parallélogramme fondamental est égal à zéro, donc en particulier aucune fonction elliptique ne peut avoir un ordre égal à un. La dérivée d'une fonction elliptique est encore une fonction elliptique, de même période. L'ensemble de toutes les fonctions elliptiques de mêmes périodes fondamentales forme un corps. Plus précisément, un couple de périodes étant donné, toute fonction elliptique admettant ce couple de périodes peut être définie sur une certaine surface de Riemann : le tore complexe obtenu par recollement des couples de côtés opposés du parallélogramme fondamental. Les fonctions elliptiques sont alors les fonctions méromorphes sur ce tore. Par ailleurs, la fonction de Weierstrass associé à ce couple de périodes, et sa dérivée paramètrent une certaine courbe complexe : une courbe elliptique. Catégorie:Analyse complexe
- Catégorie:Géométrie algébrique de:Elliptische Funktion en:Elliptic function es:Función elíptica fi:Elliptinen funktio it:Funzioni ellittiche ja:楕円関数 nl:Elliptische functie no:Elliptiske funksjoner pl:Funkcje eliptyczne pt:Função elíptica ru:Эллиптические функции sv:Elliptisk funktion
Sujets connexes
Affixe (homonymie)   Analyse complexe   Corps (mathématiques)   Courbe elliptique   Dérivée   Fonction elliptique de Weierstrass   Fonction méromorphe   Fonction trigonométrique   Intégrale elliptique   Nombre complexe   Parallélogramme   Plan complexe   Pôle (mathématiques)   Surface de Riemann   Théorème de Liouville (variable complexe)   Théorème des résidus   Tore  
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