Fonction hyperbolique

Infos
En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les nom de sinus, cosinus et tangente proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (ou circulaires) et le terme de hyperbolique provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x^2 - y^2 = 1. Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géom
Fonction hyperbolique

En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les nom de sinus, cosinus et tangente proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (ou circulaires) et le terme de hyperbolique provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x^2 - y^2 = 1. Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.

Histoire

Les fonctions hyperboliques ont été inventées par le jésuite Vincenzo Riccati dans les années 1760 alors qu'il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l'aire sous l'hyperbole d'équation x^2 - y^2 = 1. La méthode géométrique qu'il employa alors était très similaire à celle que l'on peut utiliser pour calculer l'aire d'un cercle d'équation x^2 + y^2 =1. Le calcul de l'aire du cercle fait intervenir les fonctions trigonométriques classiques que Riccati nommait cosinus et sinus circulaires. Par analogie, il appela alors les fonctions qu'il venait de créer cosinus et sinus hyperboliques. Ce fut un choix heureux, car cette ressemblance ne s'arrête pas à la méthode de calcul d'aire mais aussi à toutes les formules trigonométriques. Cependant, pourtant au fait du travail de son contemporain Euler, il n'utilisa pas la fonction exponentielle pour les définir mais seulement des considérations géométriques. L'autre grand mathématicien ayant étudié les fonctions hyperboliques est Johann Heinrich Lambert qui en fit une étude complète en 1770. Cette quasi simultanéité fait que l'on attribue parfois à Lambert la paternité des fonctions hyperboliques bien que les écrits de Riccati lui soient antérieurs de quelques années.

Définitions

Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions : Sinus hyperboliqueCosinus hyperboliqueTangente hyperbolique

Sinus hyperbolique

Définie comme étant la partie impaire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par : :\sinh(x) = \frac sinh – ou sh – est une bijection de classe C^\infty de \R dans \R strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est le cosinus hyperbolique. Son application réciproque s'appelle argument sinus hyperbolique et est notée argsinh ou argsh.

Cosinus hyperbolique

Définie comme étant la partie paire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par : :\cosh(x) = \frac cosh – ou ch – est une application de \R dans -1;1-\infty;-11;+\infty1, +\infty-1;1-1;1-\infty;-11;+\infty-\infty;-11;+\infty[ et sa dérivée est x \mapsto \tfrac. argcoth admet une forme logarithmique : :\arg\coth(x) = \frac\ln\left(\frac\right)

Voir aussi

===
Sujets connexes
Analyse (mathématiques)   Application (mathématiques)   Application réciproque   Bijection   Calcul intégral   Cercle   Chaînette   Dérivée   Exponentielle   Fonction convexe   Fonction entière   Fonction holomorphe   Fonction périodique   Fonction trigonométrique   Formule d'Euler   Géométrie hyperbolique   Hyperbole (mathématiques)   Johann Heinrich Lambert   Leonhard Euler   Logarithme   Longueur d'un arc   Nombre complexe   Primitives de fonctions hyperboliques réciproques   Vincenzo Riccati  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^