Monoïde

Infos
Monoïde

Définition

En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique consistant en un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et d'un élément neutre. Un monoïde est donc un magma associatif et unifère. En d'autres termes, (E,
-, e)\, est un monoïde si :
- \forall (x, y)\in E^2, x
-y \in E (stabilité)
- \forall (x, y, z)\in E^3, x
-(y
-z) = (x
-y)
-z (associativité)
- \exists\ e\in E, \forall x\in E, x
-e=e
-x=x (élément neutre) On trouve aussi parfois une définition d'un monoïde où l'existence d'un élément neutre n'est pas requise. Un monoïde E est dit simplifiable à gauche, ou encore régulier à gauche, (resp. à droite) si :\forall (a, b, c)\in E^3, a
-b=a
-c\, (resp. b
-a=c
-a\, ) \Rightarrow b=c. Si A est un alphabet fini, l'ensemble des mots sur A est noté A
-
. Muni de la concaténation, c'est un monoïde que l'on appelle monoïde libre sur A. Son élément neutre est le mot vide. De manière générale, un monoïde est dit libre s'il est isomorphe à l'ensemble des mots sur un alphabet fini, muni de la concaténation. On appelle alors ensemble des générateurs libres du monoïde l'image de l'alphabet par l'isomorphisme. Cet ensemble est unique, et deux monoïdes libres sont isomorphes si et seulement s'ils ont le même nombre de générateurs libres. Notons l'existence de monoïdes non libres. Il suffit par exemple de considérer le monoïde multiplicatif des entiers naturels.

Sous-monoïde

Un sous-monoïde d'un monoïde de (E,
-, e)\, est un sous ensemble E'\, de E\, verifiant:
- \forall (x, y)\in E^2\, (x \in E'\, et\, y \in E') \Rightarrow (x
-y \in E') (stable)
- e \in E'\,

Exemples

- L'ensemble des entiers naturels, muni de l'addition, est un monoïde, dont 0 est l'élément neutre ;
- L'ensemble des entiers naturels, muni de la multiplication, est un monoïde d'élément neutre 1. 0 n'est pas simplifiable (\forall (n, m)\, 0.n=0.m\, ) ;
- L'ensemble des parties d'un ensemble E, muni de l'union ensembliste, est un monoïde, dont l'ensemble vide est l'élément neutre. Le même ensemble muni de l'intersection ensembliste est aussi un monoïde dont E est l'élément neutre.
- L'ensemble des entiers naturels muni de la loi Max qui a deux entiers associe le plus grand des deux est un monoïde de neutre 0.
- La deuxième loi d'un anneau possède une structure de monoïde. Beaucoup de propriétés des anneaux en découlent, notamment l'étude des Anneaux factoriels.

Morphisme de monoïde

- Soit (E,
-, e) et (F, T, f) deux monoïdes. on appelle morphisme de (E,
-, e) vers (F, T, f) toute application \varphi de E vers F telle que
- \forall (x, y)\in E^2, \ \varphi(x
-y) =\varphi(x)T\varphi(y)
- \varphi(e) =f La première propriété est celle de morphisme de loi ou morphisme de magma.
- La composée de deux morphismes de monoïde est un morphisme de monoïde.
- La réciproque de tout morphisme bijectif de monoïde est un morphisme de monoïde. En conséquence, un morphisme bijectif est qualifié d'isomorphisme.
- L'image d'un élément idempotent par un morphisme de monoïde est un élément idempotent.
- Si on munit l'ensemble des entiers naturels de la loi Max, l'application n \mapsto n+1 est un morphisme de loi mais n'est pas un morphisme de monoïde.
- Tout morphisme de loi d'un monoïde vers un groupe est un morphisme de monoïde.
- L'image d'un sous-monoïde par un morphisme de monoïde est un sous-monoïde. En particulier l'image d'un morphisme de monoïde est un sous-monoïde.
- On appelle noyau d'un morphisme de monoïde l'ensemble des antécédents de l'élément neutre. Attention, il n'y a pas de lien clair entre noyau et injectivité lorsque le monoïde n'est pas un groupe. Par exemple, l'application n \mapsto 2n est un endomorphisme du monoïde des entiers naturels muni de la loi Max.
- L'image réciproque d'un sous-monoïde par un sous-monoïde est un sous-monoïde. En particulier le noyau d'un morphisme de monoïde est un sous-monoïde.

Produit direct de monoïdes

- Soit (E,
-, e)\, et (F, T, f)\, deux monoïdes. on peut munir le produit cartésien et E\times F\, d'une structure de monoïde en introduisant une nouvelle loi \wedge de la façon suivante : : \forall (x, y), (x', y') \in (E\times F)^2, \ (x, y)\wedge (x', y')= (x
-x', y\, T\, y'). C'est un monoïde de neutre \displaystyle (e, f)
- Les deux projections p : (x, y) \mapsto x de E\times F dans \displaystyle Eet q : (x, y) \mapsto y de E\times F dans \displaystyle F sont des morphismes de monoïde. Et le triplet ((E\times F, \wedge, (e, f)), p, q) vérifie la propriété universelle du produit direct.
- Plus généralement, soit I un ensemble et ((E_i,
-_i, e_i))_i\in I une famille de monoïde. On construit la structure de produit direct sur le produit cartésien \prod_i\in I(E_i) par la formule : (x_i)_i\in I
- (y_i)_i\in I = (x_i
-y_i)_i\in I.

Symétrique d'un élément


- Soit (E,
-, e) un monoïde et soit x un élément de E. On dira que
- x est symétrisable à droite si et seulement si il existe un élément y dans E tel que x
-y = e. On dit alors que y est un symétrique à droite de x.
- x est symétrisable à gauche si et seulement si il existe un élément z dans E tel que y
-x = e. On dit alors que y est un symétrique à gauche de x.
- x est symétrisable si et seulement si x est symétrisable à droite et à gauche.
- Lorsque x est symétrisable il admet un unique symétrique à droite et un unique symétrique à gauche et ceux-ci sont égaux. Cet unique élément est appelé symétrique de x. En effet, c'est une conséquence de l'associativité, avec les notations ci-dessus y= e
-y= (z
-x)
-y = z
-(x
-y) = z
-e = z
- Le symétrique de x est généralement noté x^. On le note parfois \frac1x lorsque la loi est commutative, c'est notamment le cas avec la multiplication des nombres réels. On le note -x lorsque la loi du monoïde est noté +. Le symétrique est souvent appelé inverse, c'est notamment le cas pour les multiplications. Le symétrique pour les additions est appelé opposé.
- Si x et y sont symétrisables, il en est de même de x
-y et on a (x
-y)^=y^
-x^. On vérifie (x
-y)
-(y^
-x^)=x
-(y
-y^)
-x^=x
-e
-x^=x
-x^=e grâce à l'associativité et on fait de même à gauche.
- L'ensemble des éléments symétrisables d'un monoïde forme un groupe.

Itération

Le monoïde est un cadre propice pour définir les itérations d'un élément.

Applications

En mathématiques, il est rare d'utiliser les monoïdes ; car souvent, lorsqu'une structure est trop pauvre en termes de propriétés pour pouvoir continuer son étude, elle se trouve plongée dans une structure plus riche, comme les groupes, ou les anneaux... Les entiers naturels en sont un exemple frappant : pour les étudier, on étudie les entiers relatifs, qui eux forment un groupe, et mieux, un anneau factoriel ! En informatique théorique, les monoïdes et plus particulièrement le monoïde libre sont parmi les structures les plus utilisées, notamment dans la théorie des codes et dans la théorie des langages. Catégorie:Structure algébrique ca:Monoide cs:Monoid de:Monoid en:Monoid es:Monoide et:Monoid fi:Monoidi he:מונואיד (מבנה אלגברי) hu:Monoid it:Monoide ja:モノイド nl:Monoïde oc:Monoïde pl:Monoid pt:Monóide ru:Моноид sl:Monoid sr:Моноид sv:Monoid (matematik) tr:Birlik uk:Моноїд zh:幺半群
Sujets connexes
Alphabet   Anneau (mathématiques)   Anneau factoriel   Associativité   Concaténation   Ensemble   Groupe   Groupe (mathématiques)   Informatique   Loi de composition interne   Mathématiques   Morphisme   Produit direct   Propriété universelle   Structure algébrique   Théorie des langages  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^