Identité de Bézout

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Cet article discute de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout. En arithmétique modulaire, 'identité de Bézout' est une équation diophantienne linéaire : a \cdot x + b \cdot y = d où a, b, x, y, d \in \mathbb Z. Ce théorème fut énoncé la première fois par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac dans son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par
Identité de Bézout

Cet article discute de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout. En arithmétique modulaire, 'identité de Bézout' est une équation diophantienne linéaire : a \cdot x + b \cdot y = d où a, b, x, y, d \in \mathbb Z. Ce théorème fut énoncé la première fois par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac dans son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres édité à Lyon en 1612. Cependant, le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, notamment aux polynômes, démonstration notablement plus difficile.

Identité de Bézout dans Z

Théorème de Bézout

Théorème| Étant donnés deux entiers relatifs a et b, si d est le PGCD de a et de b alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que x\cdot a + y\cdot b = d En particulier, a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs x et y tels que x\cdot a + y\cdot b = 1 . démonstration |déroulante=oui |contenu= Soit D = \N^
- \cap \left\ xa+yb\, ; (x, y)\in\mathbb^2 \right\ D est un sous-ensemble non vide de \mathbb, il admet donc un plus petit élément d = ua + vb > 0. La division euclidienne de a par d donne a = q.(ua + vb) + r et 0 \le r < d. D'où r = a.(1 - uq) - vqb. En supposant r \ne 0\, , on aurait r \in D et r < d, ce qui est impossible (d est le plus petit élément de D). Ainsi r = 0 et d divise a. De même d divise b. Donc d est un diviseur commun à a et b. Enfin, si c est un diviseur commun à a et b, il divise ua + vb = d, donc d est le PGCD de a et b. Les entiers x et y ci-dessus peuvent être déterminés par l'algorithme d'Euclide étendu; ils ne sont cependant pas déterminés de manière unique. Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et nous pouvons écrire :(-3) \cdot 12 + 1 \cdot 42 = 6 et aussi :4 \cdot 12 + (-1) \cdot 42 = 6. À partir d'un couple solution (x_0, y_0), il est possible d'obtenir toutes les autres solutions en faisant varier k: :a \cdot \left(x_0 - k \cdot b \over d\right) + b \cdot \left(y_0 + k \cdot a \over d\right) = d

Applications

Le théorème de Bézout intervient dans la démonstration du théorème de Gauss.

Généralisation

Théorème| Étant donnée des entiers relatifs a_1, ..., a_n, d est le PGCD de a_1, ..., a_n si et seulement si il existe des entiers relatifs tels que x_1\cdot a_1 + \cdots x_n\cdot a_n = d En particulier, a_1, ..., a_n sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs x_1, ..., x_n tels que x_1\cdot a_1 + \cdots + x_n\cdot a_n = 1 . En d'autres termes, le PGCD de a_1, ..., a_n est le plus petit entier qui peut s'écrire comme combinaison linéaire, à coefficients entiers, de a_1, ..., a_n.

Identité de Bézout dans Z

Théorème| Étant donné une famille \left(P_i\right)_i\in I de polynômes de \mathbb, \Delta est un PGCD de de la famille \left(P_i\right)_i\in I si et seulement si il existe une famille \left(A_i\right)_i\in I de polynôme de \mathbb telle que \Delta = \sum_i\in I A_iP_i En particulier, les polynômes \left(P_i\right)_i\in I sont premiers entre eux si et seulement si il existe une famille \left(A_i\right)_i\in I de polynôme de \mathbb telle que 1 = \sum_i\in I A_iP_i.

Extension aux anneaux principaux quelconques

L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais aussi dans tout autre anneau principal. C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A, et d est un plus grand diviseur commun de a et b, alors il existe des éléments x et y dans A tels que : ax + by = d Dans un anneau principal, un PGCD de a et b est un générateur de aA+bA, l'identité de Bézout est une conséquence de cette définition. Bézout Catégorie:Équation diophantienne Catégorie:Arithmétique modulaire ca:Identitat de Bézout cs:Bézoutova rovnost de:Lemma von Bézout en:Bézout's identity es:Identidad de Bézout it:Identità di Bézout lmo:Lema da Bézout nl:Stelling van Bachet-Bézout ru:Теорема Безу uk:Безу теорема zh:貝祖等式
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