Plus petit commun multiple

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Le plus petit multiple commun, écrit aussi PPCM, est le produit de tous les facteurs des deux decompositions.Chaque facteur étant affecté du plus grand exposant apparu dans les deux décompositions
Plus petit commun multiple

Le plus petit multiple commun, écrit aussi PPCM, est le produit de tous les facteurs des deux decompositions.Chaque facteur étant affecté du plus grand exposant apparu dans les deux décompositions (simultanément des deux entiers (si (a, b) ou a⋁b (il y a alors confusion avec le ou logique). On peut étendre le PPCM à un nombre d'entiers n supérieur à deux : le PPCM est alors le plus petit entier naturel multiple simultanément des n nombres.

Définition

Soient (a, b)\in\mathbb^2.
- Si a=0 ou b=0 \operatorname(a, b)=0
- Si a et b sont non nuls on note m_=\left\ m\in\mathbb^
- / a|m \land b|m \right\ On vérifie alors que m_ \subset \mathbb et m_ \ne \empty (car |ab|\in m_) Par axiome, \min(m_) existe. On définit \operatorname(a, b)=\min(m_).

Calcul du PPCM

A l'aide de la décomposition avec les nombres premiers

On décompose chaque nombre en produit de nombres premiers et, pour chacun des facteurs des deux (voire plus) décompositions, on l'élève à son plus grand exposant. Exemple: prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers.On a : 60=2×2×3×5=2²×3×5 168=2×2×2×3×7=2³×3×7 Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a alors ppcm(60, 168)=2³×3×5×7=840

A l'aide du PGCD

Dans le cas où aucun des deux entiers a et b n'est nul, le plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant le plus grand commun diviseur (ou P.G.C.D.) de a et b, a \vee b = \fraca\wedge b qui s'écrit aussi ppcm(a, b) = \frac Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du P.G.C.D. nous donne aussi un algorithme rapide de calcul du P.P.C.M. Exemple: avec l'algorithme d'Euclide, calculons pgcd(60, 168) :168 = 60 × 2 + 4860 = 48 x 1 + 1248 = 12 × 4 + 0 . pgcd(60, 168) = 12. Donc 12 × ppcm(60;168) = 60×168, soit : ppcm(60;168) = (60 × 168) / 12 = 840. Catégorie:Divisibilité et factorisation bg:Най-голям общ делител ca:Mínim comú múltiple cs:Nejmenší společný násobek de:Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches en:Least common multiple eo:Plej malgranda komuna oblo es:Mínimo común múltiplo fi:Pienin yhteinen jaettava it:Minimo comune multiplo ja:最小公倍数 ko:최소공배수 nl:Kleinste gemene veelvoud pl:Najmniejsza wspólna wielokrotność pt:Mínimo múltiplo comum zh:最小公倍數
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