Théorème de Green

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En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann donne la relation entre une intégrale curviligne autour d'une courbe simple fermée C et l'intégrale double sur la région du plan D délimitée par C. Ce théorème est nommé d'après le scientifique George Green et se base sur le théorème de Stokes. À ne pas confondre avec le théorème de Green-Ostrogradsky, ou théorème de flux-divergence.
Théorème de Green

En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann donne la relation entre une intégrale curviligne autour d'une courbe simple fermée C et l'intégrale double sur la région du plan D délimitée par C. Ce théorème est nommé d'après le scientifique George Green et se base sur le théorème de Stokes. À ne pas confondre avec le théorème de Green-Ostrogradsky, ou théorème de flux-divergence.

Énoncé

Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux. théorème|style=display:table|Théorème de Green|Soit C, une courbe plane simple, positivement orientée et C1 par morceaux, D le domaine compact lisse du plan délimité par C et P\mathrm dx + Q\mathrm dy une 1-forme différentielle sur \R^2. Si P et Q ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant D, alors : \int_\mathcal P\, \mathrm dx + Q\, \mathrm dy = \iint_\mathcal \frac\partial Q\partial x - \frac\partial P\partial y\ \mathrm dx\mathrm dy

Notation alternative

Il existe une autre façon de noter ce théorème, qui se rapproche de celle utilisée pour le théorème de Stokes. On se place sur un domaine compact lisse du plan \Omega, de bord , en notant la forme différentielle \omega. Alors la dérivée extérieure de \omega s'écrit : \mathrm d\omega = \left( \frac\partial Q\partial x - \frac\partial P\partial y \right) \mathrm dx \wedge \mathrm dy On peut alors résumer le théorème de Green par la formule : \oint_\partial \Omega \omega = \iint_\Omega \mathrm d\omega Le cercle sur l'intégrale précise que le bord décrit une courbe fermée. En dessinant une flèche dessus, on définit l'orientation — positive ou négative.

Utilisations

Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

Calculs d'aires

L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. On traite ici l'exemple du disque unité D, dont le bord est le cercle unité C paramétré par : t \to \left( \cos, \sin \right) et de longueur 2\pi. On pose, pour tous réels x et y : colonnes|nombre=2|align=center| P \left( x, y \right) = 0 Q \left( x, y \right) = x Alors \omega = x \mathrm dy et \mathrm d\omega = \mathrm dx \mathrm dy. Or, par définition de l'aire : \mathcal = \iint_\mathcal \mathrm dx \mathrm dy = \iint_\mathcal \mathrm d\omega D'après le théorème de Green : \mathcal = \iint_\mathcal \mathrm d\omega = \oint_\mathcal \omega Ainsi on a : \mathcal = \oint_\mathcal x\, \mathrm dy = \oint_^2\pi \cos^2 (t)\, \mathrm dt = \pi . En conclusion, on a montré que l'aire du disque unité est π. Catégorie:Méthode mathématique de la physique Green Green bs:Greenov teorem cs:Greenova věta de:Satz von Green en:Green's theorem es:Teorema de Green fi:Greenin teoreema it:Teorema di Green ja:グリーンの定理 nl:Stelling van Green no:Greens Teorem pl:Twierdzenie Greena pt:Teorema de Green ru:Теорема Грина sr:Гринова теорема sv:Greens sats th:ทฤษฎีบทของกรีน zh:格林公式
Sujets connexes
Compact   Disque (géométrie)   Dérivée extérieure   Dérivée partielle   Forme différentielle   George Green   Intégrale curviligne   Mathématiques   Orientation (mathématiques)   Pi   Régularité par morceaux   Théorème de Stokes   Théorème de flux-divergence   Théorème intégral de Cauchy  
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