Identités logarithmiques

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Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (a, b, c et d) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.
Identités logarithmiques

Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (a, b, c et d) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

Valeurs particulières

-\log_a1 = 0\,
-\log_aa = 1\,

Multiplication, division et exponentiation

-\log_c(a\cdot b) = \log_ca + \log_cb\,
-\log_c\left(\frac\right) = \log_ca - \log_cb\,
-\forall r\in\R, \ \log_c(a^r) = r\cdot\log_ca\, Ces trois identités nous permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul; connaissant le logarithme de deux nombres, nous pouvons les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci. Formules de G. G. Gendre:
-\log_c(a + b) = \log_c(c^(\log_ca - \log_cb) + 1 )+ \log_cb, \ a>b
-\log_c(a - b) = \log_c(c^(\log_ca - \log_cb) - 1 )+ \log_cb, \ a>b Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement log(a+b) en fonction de log(a) et log(b) en évitant des dépassements des limites numériques.

Réciprocité

-a^\log_ab = b\,
-pour tout nombre réel r, \log_a (a^r) = r\, Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Changement de base

-\log_a b = \frac\log_c b\log_c a\, Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart des ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux et naturels.
-\log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu= Cette formule decoule simplement du rapport constant lors du changement de base. Hypothèse : \log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb \iff \frac\log_cb\log_ca \cdot \frac\log_ad\log_ac = \log_ad\cdot\log_cb (changement de base à gauche) \iff \frac\log_cb\frac\log_aa\log_ac \cdot \frac\log_ad\log_ac = \log_ad\cdot\log_cb (changement de base de \log_ca) \iff \frac\log_cb\cdot\log_ac\log_aa \cdot \frac\log_ad\log_ac = \log_ad\cdot\log_cb (multiplication par l'inverse) \iff \frac\log_cb\cdot\log_ad\log_aa = \log_ad\cdot\log_cb (simplification des \log_ac) \iff \log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb\, (simplification de \log_aa) CQFD

Limites

:\lim_x\to 0 \log_a x = -\infty\, pour a > 1 :\lim_x\to 0 \log_a x = +\infty\, pour 0
Sujets connexes
Application réciproque   Base (analyse)   CQFD   Dérivée   E (nombre)   Limite (mathématiques)   Logarithme   Logarithme décimal   Logarithme naturel   Primitive   Règle à calcul  
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