Transitivité (mathématiques)

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En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire. Une relation binaire \mathcal définie sur un ensemble E est transitive quand à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z de E tels que x et y sont en relation, ainsi que y et z, alors x et z sont en relation. Plus formellement : :\forall x, y, z \in E\left . Si l'amitié était transiti
Transitivité (mathématiques)

En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire. Une relation binaire \mathcal définie sur un ensemble E est transitive quand à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z de E tels que x et y sont en relation, ainsi que y et z, alors x et z sont en relation. Plus formellement : :\forall x, y, z \in E\left . Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer « Tous les amis de mes amis sont mes amis.» On en déduit qu'une relation sur E n'est pas transitive si et seulement s'il existe un triplet d'éléments de E qui fournit un contre-exemple à la transitivité : x et y sont en relation, ainsi que y et z, mais pas x et z. Plus formellement : :\exists x, y, z \in E\left . On dit alors que la relation binaire \mathcal est non-transitive. Cette propriété, qui est la simple négation de la transitivité, ne doit pas être confondue avec la propriété suivante : :\forall x, y, z \in E \left . On dit parfois d'une telle relation qu'elle est anti-transitive (cette propriété est moins utile et moins courante que la transitivité, le vocabulaire n'est pas forcément bien établi). Remarquez que les propriétés de non-transitivité et d'anti-transitivité ne sont pas comparables (acune des deux n'entraîne l'autre), et qu'une relation, même non vide, peut très bien être transitive et anti-transitive (il suffit qu'il n'y ait pas de triplet (x, y z) vérifiant x R y et y R z).

Exemples

- Les relations =, \geq et \leq sont parmi quelques unes des relations transitives les plus couramment utilisées. Si a = b et si b = c alors automatiquement a = c.
- La relation de parallélisme est transitive : si une droite D est parallèle à D', elle-même parallèle à D", alors D est parallèle à D". Il en est de même pour toute relation d'équivalence.
- De même, les relations d'ordre sont transitives. Par exemple, (a \leq b \and b \leq c) \implies a \leq c ou encore tout diviseur naturel d'un diviseur naturel de n divise n.
- Ainsi, on dit de la relation de congruence qu'elle est transitive dans \mathbb N. Cela veut dire que si a \equiv b et si b \equiv c , alors a \equiv c .

Exemple de non-transitivité

- La relation \not= n'est pas transitive, c'est-à-dire a \not= b et b \not= c ne permet pas de dire que a \not= c.

Exemple d'anti-transitivité

- La relation "est le père de" est anti-transitive : si (a est le père de b) et (b est le père de c), alors (a N'est PAS le père de c).

Voir aussi

Relation binaire Catégorie:Théorie des ensembles Catégorie:Logique mathématique ast:Relación transitiva cs:Tranzitivní relace de:Transitivität (Mathematik) en:Transitive relation eo:Transitiva rilato es:Relación transitiva hu:Tranzitív reláció is:Gegnvirk vensl it:Relazione transitiva ja:推移関係 lt:Tranzityvumas nn:Transitiv relasjon pl:Relacja przechodnia ru:Транзитивность sk:Tranzitívna relácia sv:Transitiv relation uk:Транзитивне відношення zh:传递关系
Sujets connexes
Divisibilité   Mathématiques   Parallélisme (géométrie)   Relation binaire   Relation d'ordre   Relation d'équivalence  
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